4.2.3. Диск с параллельным соединением слоев

В качестве модели рассмотрим образец в форме диска из двухслойного композиционного материала, представляющего механическое соединение ферромагнетика и пьезоэлектрика (рис. 4.16).

Толщину металлических контактов, нанесенных на внешних поверхностях пьезоэлектрика и ферромагнетика, будем считать пренебрежимо малой. Пусть образец поляризован по нормали к плоскостям контактов (ось Z). При продольном МЭ эффектепостоянное (подмагничивающее) и переменное магнитные поля направлены по нормали к плоскости контактов, при поперечном МЭ эффекте направлены в плоскости контактов (ось X).

С учетом того, что диск тонкий, а на нижней и верхней поверхностях нанесены металлические контакты, то отличными от нуля компонентами тензора напряжений и вектора напряженности электрического поля будут только T₁, T₂ и E₃ . С учетом этого, уравнения (4.2) для тензора деформаций ^mS_i в магнетике и^pS_i в пьезоэлектрикеи индукции электрического поляD_i в пьезоэлектрике при поперечной ориентации полей запишем в виде:

^mS₁= ^ms₁₁ ^mT₁ + ^ms₁₂ ^mT_{2 +}^mq₁₁H₁ (4.119)
^mS₂= ^ms₁₂ ^mT₁ + ^ms₁₁ ^mT_{2 +}^mq₁₂H₁ (4.120)
^pS₁= ^ps₁₁ ^pT₁ + ^ps₁₂ ^pT₂ +^pd₃₁E₃ (4.121)
^pS₂= ^ps₁₁ ^pT₁ + ^ps₁₂ ^pT₂ +^pd₃₁E₃ (4.122)
D₃= ^pe₃₃E₃ +^p d₃₁( ^pT₁ +^pT₂) (4.123)

При продольной ориентации электрического и магнитного полей в (4.119) вместо q₁₁H₁ и q₁₂H₁ в (4.120) будет стоять q₃₁H₃.

Используя симметрию задачи и переходя к цилиндрической системе координат с помощью известных соотношений [9], для компонент тензора деформаций получим следующие выражения:

, (4.124)

, (4.125)

(4.126)

. (4.127)

Уравнение движения (4.1) для радиальных колебаний диска имеет вид

(4.128)

где r - плотность материала.

Выражая из (4.124) и (4.125) компоненты тензора напряжений , и подставляя их в (10), получим дифференциальное уравнение для радиальной компоненты вектора смещения среды магнетика ^mu_r в следующей форме:

(4.129)

гдеD(q)=(^mq₁₁-^mq₁₂)(1- ^mn)(cos²(q)-sin²(q))H₁., ^mr - плотность магнетика, коэффициент Пуассона для магнетика.

Решение уравнения (4.129) согласно [10] представим в виде

^mu_r=c₁J₁(^mkr)+c₂Y₁(^mkr)+D(q)/(^mk²r) (4.130)

где J₁(^mkr) иY₁(^mkr) функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Постоянные интегрирования c₁ и c₂ определимиз граничных условий.

Из условия равенства нулю вектора смещений в центре диска, с учетом свойства функции Бесселя второго рода при малых значениях аргумента, для постоянной интегрирования c₂ получим выражение c₂= p D(q)/(2 ^mk). (4.131)

Так как боковые поверхности диска свободные, то из условия равновесия образца для механических напряжений на границе выполняется соотношение

^mh ^mT_rr(R)+ ^ph ^pT_rr(R)=0 (4.132)

Колебания ферромагнетика ^mu_r(r), возбуждаемые магнитным полем, передаются в пьезоэлектрик через границу раздела. Так как контакт на границе феррит - пьезоэлектрик неидеальный, то для радиальных компонент векторов смещения среды магнетика и пьезоэлектрика можно записать соотношение

(4.133)

где b=(0 ¸1) - параметр, характеризующий механическую связь феррита и пьезоэлектрика. где ^pu_r⁽⁰⁾ – радиальные колебания пьезоэлектрика, если бы связь между магнетиком и пьезоэлектриком отсутствовала бы. Решая уравнение движения для радиальных колебаний не связанного с ферромагнетиком пьезоэлектрического диска, для смещений получим выражение

, (4.134)

где , , , где введено сокращенное обозначение .

С учетом (4.133) и граничных условий (4.132), для постоянной интегрирования c₁ получим выражение

(4.135)

Здесь введены обозначения , , , ,- коэффициент Пуассона для пьезоэлектрика.

Нормальную составляющую вектора электрической индукции определим из уравнения (4.123). Подставляя выражение (4.133) с учетом (4.134) и (4.135) в выражения для тензора напряжений, для нормальной составляющей вектора электрической индукции получим уравнение

(4.136)

Напряженность электрического поля в пьезоэлектрике, возникающую вследствие деформаций, найдем из уравнения (4.123) с использованием условия разомкнутой цепи, а именно . Выполняя интегрирования, для индуцированной в пьезоэлектрике напряженности электрического поля E₃ получим выражение

(4.137)

где - коэффициент электромеханической связи при планарных колебаниях, а безразмерный параметр определяется следующим выражением

(4.138)

Магнитоэлектрический коэффициент по напряжению для двухслойной структуры определим изсоотношения (4.115). Поскольку сопротивление пьезоэлектрика много больше сопротивления ферромагнетика, то можно считать, что все падение электрического напряжения происходит в пьезоэлектрике. С учетом этого предположения, длямагнитоэлектрического коэффициента по напряжению при поперечной ориентации электрического и магнитного полей получим выражение:

(4.139)

При продольной ориентации электрического и магнитного полей (вдоль оси Z ) в выражении для магнитоэлектрического коэффициента вместо суммы (^mq₁₁+ ^mq₁₂), будет стоять 2^mq₃₁ . Так как вследствие влияния размагничивающих полей величина ^mq₃₁как правило меньше ^mq₁₁, то и величина эффекта при продольной ориентации как правило на порядок меньше, чем при поперечной.

Из выражения (4.139) для магнитоэлектрического коэффициента следует, что при частотах, когда . наблюдается резонансное увеличение магнитоэлектрического коэффициента. На рис. 4.17-4.20 представлены рассчитанные по формуле (4.139) частотные зависимости магнитоэлектрического коэффициента для структуры на основе пермендюр – ЦТС при различных значениях коэффициента связи b. При расчетах использованы следующие параметры: ^ms₁₁=5.5·10^-12 м²/Н, q₁₁=63.75·10^-10м/A, ^mh=0,36 мм,^ps₁₁=15·10^-12 м²/Н, d₃₁= -175·10^-12 м/В, ^pe₃₃/e₀=1750, ^ph=0,36 мм, коэффициент затухания χ=10000 рад/с^-, радиус образца R= 9 мм.

Рис. 4.17 Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента по напряжению для слоистой структуры в форме диска Коэффициент связи фаз b=1.

Рис. 4.18 Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента по напряжению для слоистой структуры в форме диска Коэффициент связи фаз b=0.4

Рис. 4.19 Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента по напряжению для слоистой структуры в форме диска Коэффициент связи фаз b=0.1

Рис. 4.20 Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента по напряжению для слоистой структуры в форме диска Коэффициент связи фаз b=0.02

Как видно из рис.4.17-4.20, в случае идеальной механической связи имеет место одна мода колебаний. Это коллективные колебания магнетика и пьезоэлектрика. Магнитное поле возбуждает вынужденные колебания в магнетике с волновым вектором ^mk и, в случае идеальной связи, колебания пьезоэлектрика повторяют их. Поскольку в пьезоэлектрике возникает электрическое поле, то имеет место не механический, а электромеханический резонанс. Этот факт находит отражение в том, что в выражение для , равенство нулю которого определяет резонансные частоты, входит коэффициент электромеханической связи K_p . Если же связь между магнетиком и пьезоэлектриком неидеальная (коэффициент связи меньше единице), то вблизи основного резонанса возникает второй, меньший по амплитуде, резонанс. Этот резонанс связан с тем, что в случае неидеальной связи, возникающее, вследствие колебаний, электрическое поле, возбуждает в пьезоэлектрике колебания с волновым вектором ^pk . При небольшом отклонении контакта между фазами от идеального (коэффициент связи ), величина второго пика настолько мала, что его можно не заметить на фоне большого пика. При дальнейшем уменьшении коэффициента связи величина второго пика начинает возрастать, а первого, естественно, уменьшаться. Это приводит к тому, что второй пик становиться все более заметным на фоне первого, всегда оставаясь меньше его. Это связано с тем, что с одной стороны, величина электрического поля достаточна для эффективного возбуждения колебаний, с другой стороны, появляется большая свобода движения пьезоэлектрической фазы. При дальнейшем уменьшении коэффициента связи величина второго пика, как и первого, начинает уменьшаться, стремясь к нулю при .

В области низких частот магнитоэлектрический коэффициент практически не зависит от частоты и его значение определяется выражением

(4.140)

где

(4.141)

Для многих материалов коэффициент Пуассона имеет примерно одинаковое значение. В случае , если выражение (4.141) значительно упроститься и примет вид

(4.142)

Из (4.139) следует, что величина магнитоэлектрического коэффициента как от параметров магнетика и пьезоэлектрика, так и от коэффициента связи фаз и соотношения толщины пьезоэлектрика и ферромагнетика. При малых значениях коэффициента связи b величина магнитоэлектрического коэффициента прямо пропорциональна ему, при стремлении b к единице зависимость становиться более слабой. Как следует из (4.139) и (4.140), максимальное значение магнитоэлектрического коэффициента достигается при соотношении между толщинами слоев ферромагнетика и пьезоэлектрика равном

(4.143)

В эксперименте [147] исследовался магнитоэлектрический эффект в двухслойной и трехслойной структурах на основе пермендюр (49% Fe, 49%Co, 2% V) – цирконат-титаната свинца. Образцы имели форму диска диаметром 9 мм. Толщина слоев пермендюра была постоянно равной по 0.18мм. Толщина пьезоэлектрика изменялась от 0.2 мм до 0.8 мм. Максимальное значение магнитоэлектрического коэффициента наблюдалось при значении толщины пьезоэлектрика ^ph=0.6 mm при толщине магнетика ^mh=0.36mm. Подставляя значения податливости для пермендюра и для ЦТС в (5.58), получаем согласие экспериментальных результатов с теорией при значении коэффициента сцепления b=0.9. В эксперименте [147] наблюдался только один пик. Это связано с тем, что при значении b=0.9 величина второго пика почти не заметна на фоне более большого. Детальное исследование частотной зависимости МЭ коэффициента в области электромеханического резонанса для образцов, с меньшим значением коэффициента связи показали наличие двух пиков в полном соответствии с теорией.

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации