4.2.2. Пластинка с параллельным соединением слоев

В качестве модели рассмотрим образец в форме пластинки из двухслойного композиционного материала, представляющего механическое соединение ферромагнетика и пьезоэлектрика (рис.4.14). На внешних поверхностях пьезоэлектрика и ферромагнетика нанесены металлические контакты, толщину которых будем считать пренебрежимо малой. Пусть образец поляризован по нормали к плоскостям контактов (ось Z).

Рис. 4.14 Схематичное изображение структуры.1- пьезоэлектрик, 2- феррит. Стрелка указывает направление поляризации.

Будем считать, что толщина (^mh +^ph) и ширина W пластинки много меньше ее длины L.Поскольку грани пластинки свободные, то напряжения на ее поверхностях равны нулю. Так как пластинка тонкая и узкая, то можно считать, что компоненты напряжений T₂иT₃равны нулю не только на поверхностях, но и во всем объеме и отличной от нуля компонентой тензора напряжений будет только T₁. Вследствие эквипотенциальностиверхней и нижней граней пластинки отличной от нуля компонентой вектора напряженности электрического поля будет только E₃ . Уравнения (4.2) для тензора деформаций ^mS_i в магнетике и для тензора деформаций ^pS_i в пьезоэлектрике и (4.3) для индукции электрического поляD_i в пьезоэлектрике при поперечной ориентации полей имеют вид:

^mS₁= ^ms₁₁ ^mT₁ + ^mq₁₁H₁ (4.103)

^pS₁= ^ps₁₁ ^pT₁ + ^pd₃₁E₃ (4.104)

D₃= ^pe₃₃E₃ + ^pd₃₁ ^pT₁ (4.105)

При продольной ориентации электрического и магнитного полей в (4.103) вместо q₁₁H₁будет стоять q₃₁H₃.

Выражая компоненты напряжений через компоненты деформаций и подставляя их в уравнение движения (4.1), получим дифференциальное уравнение для x - проекции вектора смещения среды магнетика ^mu_xи пьезоэлектрика ^pu_x, решения которых запишем в виде

^mu_x (x)=A₁ cos(^mkx) + B₁ sin(^mkx) (4.106) ^pu_x (x)=A₂ cos(^pkx) + B₂ sin(^pkx), (4.107) где^mk=w (^mr ^ms₁₁)^{1/2 , p}k=w (^pr ^ps₁₁)^1/2 , ^mr , ^pr - плотности магнетика и пьезоэлектрика соответственно. Постоянные интегрирования A₁, A₂, B₁ и B₂ находятся из граничных условий. Колебания феррита ^mu_x (x), возбуждаемые магнитным полем, передаются в пьезоэлектрик через границу раздела. Так как контакт на границе феррит - пьезоэлектрик неидеальный, то можно записать [144]

, (4.108)

где b-(0¸1) - коэффициент связи между фазами , - смещения пьезоэлектрика при отсутствии связи с ферромагнетиком. Решая уравнение движения среды несвязанной с ферромагнетиком пьезоэлектрической пластинки, для смещений получим выражение

, (4.109)

где ^pk=w (^pr ^ps₁₁)^1/2 , ^pr - плотность пьезоэлектрика, - безразмерный параметр.

Из условия равновесия образца, на левой и правой грани для механических напряжений имеют место соотношения:

^mh ^mT₁(-L/2)+ ^ph ^pT₁(-L/2)=0 (4.110)
^mh ^mT₁(L/2)+ ^ph ^pT₁(L/2)=0 (4.111)

где^mκ=^mkL/2, γ=(^ps₁₁/^ms₁₁)·(^mh/ ^ph )- безразмерные параметры.

Возникающую вследствие деформаций напряженность электрического поля в пьезоэлектрике найдем из уравнения (4.105) с использованием условия разомкнутой цепи, которое в данном случае запишется в виде

(4.112)

Подставляя полученные выражения в (4.112) и вычисляя интеграл для напряженности электрического поля в пьезоэлектрике E_z. получим уравнение

, (4.113)

Здесь введено обозначение

(4.114)

где - квадрат коэффициента электромеханической связи пьезоэлектрика при планарных колебаниях.

Магнитоэлектрический коэффициент по напряжению для двухслойной структуры определим изсоотношения

(4.115)

где – среднее значение напряженности электрического поля в образце, U – возникающая разность потенциалов между электродами. Полагая, что все падение электрического напряжения происходит в пьезоэлектрике, длямагнитоэлектрического коэффициента по напряжению при поперечной ориентации электрического и магнитного полей получим следующее выражение: Полагая, что все падение электрического напряжения происходит в пьезоэлектрике, длямагнитоэлектрического коэффициента по напряжению при поперечной ориентации электрического и магнитного полей получим следующее выражение [144- 146]:

. (4.116)

При продольной ориентации электрического и магнитного полей (вдоль оси X₃ ) в выражении для магнитоэлектрического коэффициента вместо ^mq₁₁ , будет стоять ^mq₃₁ . Так как вследствие влияния размагничивающих полей величина ^mq₃₁как правило меньше ^mq₁₁, то и величина эффекта при продольной ориентации как правило на порядок меньше, чем при поперечной.

Из выражения (4.116) для магнитоэлектрического коэффициента следует, что при частотах, когда наблюдается резонансное увеличение магнитоэлектрического коэффициента. На рис. 4.15 представлены рассчитанныепо формуле (4.116) частотные зависимости магнитоэлектрического коэффициента для структуры на основе пермендюр – ЦТС при различных значениях коэффициента связи b. При расчетах использованы следующие параметры:

^ms₁₁=5.5·10^-12 м²/Н, ^mq₁₁=63.75·10^-10м/A, ^mh=0,36 мм,^ps₁₁=15·10^-12 м²/Н, ^pd₃₁= -175·10^-12 м/В, ^pe₃₃/e₀=1750, ^ph=0,36 мм, коэффициент затухания χ=20000 рад/с, длина образца L= 7.5 мм, коэффициент связи фаз b=1 и b=0.4.

Рис. 4.15. Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента по напряжению для структуры на основе пермендюра и цирконата-титаната свинца. 1-b=1, 2-b=0.4.

Как видно из рисунка, в случае жесткой связи ферромагнетика и пьезоэлектрика (b=1) на частоте около 330 kHz для данных размеров образца наблюдается резонансное увеличение магнитоэлектрического коэффициента. Это увеличение коэффициента связано с резонансом в ферромагнетике. В случае, когда коэффициент связи меньше единицы, на частотной зависимости появляется дополнительный резонанс. В случае жесткой связи магнитное поле возбуждает механические колебания в ферромагнетике, и колебания пьезоэлектрика повторяют их. В случае, когда коэффициент связи меньше единицы, нарядуколебаниями среды пьезоэлектрика c параметром ^mk,появляются колебания c параметром ^pk, что и приводит к возникновению дополнительного пика на частотной зависимости магнитоэлектрического коэффициента по напряжению.

В области низких частот магнитоэлектрический коэффициент практически не зависит от частоты и его значение определяется выражением

. (4.117)

Из (4.116) следует, что величина магнитоэлектрического коэффициента зависит как от параметров магнетика и пьезоэлектрика, так и от процентного состава структуры и коэффициента связи фаз. При малых значениях коэффициента связи b величина магнитоэлектрического коэффициента прямо пропорциональна ему, при стремлении b к единице зависимость становиться более слабой. Как следует из (4.116) и (4.117), максимальное значение магнитоэлектрического коэффициента достигается при соотношении между толщинами слоев ферромагнетика и пьезоэлектрика равном

^mh/^ph=(b ^ms₁₁ /^ps₁₁)^1/2 (4.118)

Таким образом, механическое взаимодействие между магнитострикционной и пьезоэлектрической подсистемами в композиционных материалах на основе ферромагнетик - пьезоэлектрик приводит к возникновению магнитоэлектрического эффекта. Максимальное значение магнитоэлектрического коэффициента наблюдается при определенном соотношении между толщиной магнетика и пьезоэлектрика, значение которого зависит от коэффициента сцепления фаз и отношения модулей податливости ферромагнетика и пьезоэлектрика.

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации