3.2.1 Композит со связностью 3-0

Как показано на рисунке 3.16,в композиционноммагнитоэлектрическом материале со связностью 3-0 пьезоэлектрическая фаза имеет связность во всех трех направлениях декартовой системы координат, а магнитострикционная фаза изолирована. Свойствакомпозиционногомагнитоэлектрического материала будут зависеть от параметров частиц, а также от граничных условий.

Рассмотрим модель композиционногомагнитоэлектрического материала со связностью 3-0 [63-66, 91]. При этом будем считать геометрические размеры намного меньшими по сравнению с длиной волны. Представим композиционныймагнитоэлектрический материал геометрической моделью (рис. 3.16) [49].

Рис. 3.16. Кубическая модель МЭ композита со связностью 3-0: 1– магнитострикционная фаза; 2-4–пьезоэлектрическая фаза; 5– электрод.

В данной кубической модели композиционный МЭ материал рассматривается как материал, состоящий из последовательного и параллельного соединения кубических ячеек со сторонами единичной длины. Очевидно, что для определения свойств композита можно рассматривать не весь материал целиком, а только одну кубическую ячейку. При этом магнитострикционная фаза (ячейка 1) окружена со всех сторон пьезоэлектрической фазой (ячейки 2, 3, 4). Таким образом, магнитострикционная фаза с нулевой связностью представлена кубиком со сторонойа. Следовательно, объеммагнитострикционнойфазы равен а³, а объем пьезоэлектрической фазы равен (1-а³).

Для получения эффективных материальных параметров композита используется метод усреднения, в соответствии с которым композит рассматривается сначала как структура, состоящая из пьезоэлектрической и магнитострикционной фаз. Уравнения (3.7) – (3.8) для деформации и электрического смещения ячеек, соответствующих пьезоэлектрической фазе, примут вид

ⁿS_i = ⁿs_ijⁿT_j + ⁿd_kiⁿE_k, (3.39)

ⁿD_k = ⁿd_ki ⁿT_i + ⁿε_kn ⁿE_n, (3.40)

где n=2, 3, 4 – номер ячейки куба,

ⁿS_i–компоненты тензора деформаций n-ой ячейки;
ⁿE_k–компоненты вектора напряженности электрического поля;
ⁿD_k–компоненты вектора электрического смещения;
ⁿT_j–компоненты тензора напряжений;
ⁿs_ij–коэффициенты податливости;
^pd_ki–пьезоэлектрические модули;
^pε_kn–тензор диэлектрической проницаемости.

В уравнениях (3.39) и (3.40) не учтена сила тяжести, поскольку она мала по сравнению с внутренними силами, обусловленными взаимодействием фаз.

Уравнения (3.9) – (3.10) для деформации и магнитной индукции ячейки пьезомагнитнойфазы 4 будут иметь вид:

¹S_i = ¹s_ij ¹T_j + ¹q_ki ¹H_k (3.41)

¹B_k = ¹q_ki ¹T_i + ¹μ_kn ¹H_n, (3.42)

где ¹S_i–компоненты тензоров деформаций магнитострикционной фазы;
¹T_j–компоненты тензоров напряжений магнитострикционной фазы;
¹s_ij–коэффициенты податливости;
¹H_k–компоненты векторов напряженности магнитного поля;
¹B_k–компоненты векторов магнитной индукции,
¹q_ki–пьезомагнитные модули;
¹μ_kn–тензор магнитной проницаемости.

Затем композит рассматривается как однородный материал, характеризуемый эффективными параметрами, При этом для этого материала справедливы соотношения (3.11) – (3.12) для компонент деформаций, электрической и магнитной индукций.

Эффективные параметры композита можно найти путем совместного решения уравнений (3.11) – (3.12) и (3.39) – (3.42). Для решения указанных уравнений необходимо записать граничные условия для деформаций и напряжений ячеек композита.

Граничные условия для деформаций, возникающих в ячейках кубика, имеют вид:

¹S₁ = ²S₁, (3.43)

¹S₂ - ²S₂ = 0, (3.44)

²S₁ - ³S₁ = 0, (3.45)

³S₃ - ⁴S₃ = 0, (3.46)

a ¹S₃ + (1-a) ²S₃ - ³S₃= 0, (3.47)

a²S₂ + (1-a) ³S₂ - ⁴S₂ = 0. (3.48)

Определить граничные условия для механических напряжений в ячейках можно при использовании условий равновесия ячеек. Суммарная сила, действующая в направлении оси 1 на ячейку 4, равна 0:

¹A₁¹T₁+²A₁²T₁+³A₁³T₁=⁴A₁⁴T₁, (3.49)

где ⁱA_j– площадь поперечного сечения i-го кубика, перпендикулярная оси j.

Сила, действующая вдоль оси 1, для кубика 4 равна 0:

⁴T₁=0. (3.50)

Запишем выражение для суммарной силы, действующей в направлении оси 2 для кубиков 3, 4, и учтем, чтосуммарная сила, действующая в направлении оси 2, равна 0:

³A₂³T₂+⁴A₂⁴T₂=0 (3.51)

Суммарная сила, действующая на кубик 3 в направлении оси 2, равна силам, действующим на кубики 1 и 2. Вследствие чего получаем следующее выражение:

¹A₂¹T₂+²A₂²T₂=³A₂³T₂ (3.52)

Механическое напряжение, действующее на кубик 1 в направлении оси 3, равно механическому напряжению, действующему на кубик 2 в направлении оси 3. Вследствие чего получаем выражение:

¹T₃-²T₃=0 (3.53)

Суммарная сила, действующая на кубики 2, 3, 4 в направлении оси 3, равна 0. Следовательно, получаем выражение:

²A₃²T₃+³A₃³T₃+⁴A₃⁴T₃=0 (3.54)

Запишем граничные условия для составляющих напряженности электрического поля. Для кубиков 1, 2, 3 граничные условия в направлении оси 3 имеют вид:

a^{1E_{3+(1-a)2E3-3E3=0}}

Касательная составляющая напряженности электрического поля в кубике 3 в направлении оси 3, равна касательной составляющей напряженности электрического поля в кубике 4 в направлении оси 3.

^{3E₃-4E₃=0 (3.56)}

Нормальные составляющие электрического смещения для кубиков 1 и 2 в направлении оси 3 равны, поэтому

¹D₃-²D₃=0

Суммарный электрический заряд на электродах композита равен сумме произведений электрических смещений в кубиках на площади поперечного сечения:

²A₃²D₃+³A₃³D₃+⁴A₃⁴D₃=s, (3.57)

где s – заряд на электродах.

Средние значения деформаций относительно осей 1, 2, 3 найдем по следующим формулам:

S_{1=a ^{1S1 + 4S1 (1-a), (3.58)}} S_{2=⁴S2, (3.59)} S_{3=⁴S3 (3.60)}

В результате с учетом (3.39) – (3.42) получаем систему уравнений:

(¹s₁₁¹T₁+¹s₁₂¹T₂+¹s₁₃¹T₃+¹q₃₁¹H₃)-( ²s₁₁²T₁+²s₁₂²T₂+²s₁₃²T₃+²d₃₁²E₃)=0, (¹s₂₁¹T₁+¹s₂₂¹T₂+¹s₂₃¹T₃+¹q₃₂¹H₃)-( ²s₂₁²T₁+²s₂₂²T₂+²s₂₃²T₃+²d₃₂²E₃)=0, (²s₁₁²T₁+²s₁₂²T₂+²s₁₃²T₃+²d₃₁²E₃)-( ³s₁₁³T₁+³s₁₂³T₂+³s₁₃³T₃+³d₃₁³E₃)=0, (³s₃₁³T₁+³s₃₂³T₂+³s₃₃³T₃+³d₃₃³E₃)-(⁴s₃₁⁴T₁+⁴s₃₂⁴T₂+⁴s₃₃⁴T₃+⁴d₃₃⁴E₃)=0, a(¹s₃₁¹T₁+¹s₃₂¹T₂+¹s₃₃¹T₃+¹q₃₃¹H₃)+ (1-a)( ²s₃₁²T₁+²s₃₂²T₂+²s₃₃²T₃+²d₃₃²E₃)- (³s₃₁³T₁+³s₃₂³T₂+³s₃₃³T₃+³d₃₃³E₃)=0, a(²s₂₁²T₁+²s₂₂²T₂+²s₂₃²T₃+²d₃₂²E₃)+ (1-a)( ³s₂₁³T₁+³s₂₂³T₂+³s₂₃³T₃+³d₃₂³E₃)- - (⁴s₂₁⁴T₁+⁴s₂₂⁴T₂+⁴s₂₃⁴T₃+⁴d₃₂⁴E₃)=0, (a²) ¹T₁+a(1-a)²T₁+(1-a)³T₁=0, ^4T₁=0, a³T₂+(1-a)⁴T₂=0, a¹T₂+(1-a)²T₂-³T₂=0, (3.61) ¹T₃-²T₃=0, (a²) ²T₃+a(1-a)³T₃+(1-a)⁴T₃=0, a¹E₃+(1-a)²E₃-³E₃=0, ^{3E₃-4E₃=0,} (a²)( ²d₃₁²T₁+²d₃₂²T₂+²d₃₃²T₃+²e_33^2E3)+ a(1-a)( ³d₃₁³T₁+³d₃₂³T₂+³d₃₃³T₃+³e_33^3E3)+ (1-a)( ⁴d₃₁⁴T₁+⁴d3₂⁴T₂+⁴d₃₃⁴T₃+⁴e_{33^{4E3)= s,}} d₃₁E₃+q₃₁H₃=S₁, ^{1q₃₁(1T₁+1T₂)+1q₃₃1T₃+1m_331H3=1B3}

Система (3.61) представляет собой 16 уравнений и столько же неизвестных. Так как ⁴T₁=0, то это напряжение может быть исключено из всех уравнений системы (3.23), в которой теперь остается 15 уравнений и столько же неизвестных.

Для нахождения эффективных параметров композита необходимо в систему (3.61) добавить уравнения, определяющие эффективные параметры композита и следующие из (3.11) – (3.12).

d₃₁E₃+q₃₁H₃=S₁, (3.62)
d₃₂E₃+q₃₂H₃=S₂, (3.63)
d₃₃ E₃+q₃₃H₃=S₃, (3.64)
e_{33E3+α33H3=D3, (3.65)}
m_{33H3+ α 33E3=B3. (3.66)}

В результате получаем новую систему уравнений:

(¹s₁₁¹T₁+¹s₁₂¹T₂+¹s₁₃¹T₃+¹q₃₁¹H₃)-( ²s₁₁²T₁+²s₁₂²T₂+²s₁₃²T₃+²d₃₁²E₃)=0, (¹s₂₁¹T₁+¹s₂₂¹T₂+¹s₂₃¹T₃+¹q₃₂¹H₃)-( ²s₂₁²T₁+²s₂₂²T₂+²s₂₃²T₃+²d₃₂²E₃)=0, (²s₁₁²T₁+²s₁₂²T₂+²s₁₃²T₃+²d₃₁²E₃)-( ³s₁₁³T₁+³s₁₂³T₂+³s₁₃³T₃+³d₃₁³E₃)=0, (³s₃₁³T₁+³s₃₂³T₂+³s₃₃³T₃+³d₃₃³E₃)-( ⁴s₃₁⁴T₁+⁴s₃₂⁴T₂+⁴s₃₃⁴T₃+⁴d₃₃⁴E₃)=0, a(¹s₃₁¹T₁+¹s₃₂¹T₂+¹s₃₃¹T₃+¹q₃₃¹H₃)+ (1-a)( ²s₃₁²T₁+²s₃₂²T₂+²s₃₃²T₃+²d₃₃²E₃)- (³s₃₁³T₁+³s₃₂³T₂+³s₃₃³T₃+³d₃₃³E₃)=0, a(²s₂₁²T₁+²s₂₂²T₂+²s₂₃²T₃+²d₃₂²E₃)+ (1-a)( ³s₂₁³T₁+³s₂₂³T₂+³s₂₃³T₃+³d₃₂³E₃)- -(⁴s₂₁⁴T₁+⁴s₂₂⁴T₂+⁴s₂₃⁴T₃+⁴d₃₂⁴E₃)=0, (a²) ¹T₁+a(1-a)²T₁+(1-a)³T₁=0, a³T₂+(1-a)⁴T₂=0, a¹T₂+(1-a)²T₂-³T₂=0, (3.67) ¹T₃-²T₃=0, (a²) ²T₃+a(1-a)³T₃+(1-a)⁴T₃=0, a¹E₃+(1-a)²E₃-³E₃=0, ^{3E₃-4E₃=0,} (a²)( ²d₃₁²T₁+²d₃₂²T₂+²d₃₃²T₃+²e_33^2E3)+ a(1-a)( ³d₃₁³T₁+³d₃₂³T₂+³d₃₃³T₃+³e_33^3E3)+ (1-a)( ⁴d₃₁⁴T₁+⁴d3₂⁴T₂+⁴d₃₃⁴T₃+⁴e_{33^{4E3)= s,}} d₃₁E₃+q₃₁H₃=S₁, d₃₂E₃+q₃₂H₃=S₂, d₃₃ E₃+q₃₃H₃=S₃, e_{33E3+α33H3=D3,} m_{33H3+ α 33E3=B3,} ^{1q_{31(1T1+1T2)+1q331T3+1m331H3=1B3}}

Средние значения деформации могут быть найдены по следующим формулам:

S₁=a(¹s₁₁¹T₁+¹s₁₂¹T₂+¹s₁₃¹T₃+¹q₃₁¹H₃)+(⁴s₁₂⁴T₂+⁴s₁₃⁴T₃+ +⁴d₃₁⁴E₃)(1-a), (3.68) S₂=⁴s₂₂⁴T₂+⁴s₂₃⁴T₃+⁴d₃₂⁴E₃, (3.69) S_{3=⁴s32^{4T2+4s334T3+4d334E3 (3.70)}}

Система (3.67) с учетом (3.68)–(3.70) легко решается при использовании пакета программ Maple 7. В данной работе в качестве магнитострикционной фазы будем использовать феррит кобальта, а в качестве пьезоэлектрической фазы – пьезокерамику ЦТС. При этом при проведении расчетов использовались материальные параметры, приведенные в таблице 3.4.

Для нахождения эффективных параметров на основе решения системы (3.67) использовался алгоритм, изображенный на рисунке 3.17.

Для учета сил, действующих на ячейки кубической модели со стороны окружающих ячеек необходимо рассмотреть зажатый образец. При этом в уравнениях (3.67) к компонентам тензора напряжений следует добавить составляющие внешних напряжений, а также следует использовать граничные условия вида

S₁= - s_c1 s₁₁ T₁, S₂= - s_c2 s₂₂ T₂, S_{3= - sc3 s33 T3,} (3.71)

где относительная податливость зажима s_{ci = ^{csii /sii, csii-}}

 

податливость зажима

 

В связи с громоздкостью аналитических выражений дляэффективных параметров композита был проведен численный расчет зависимостей эффективных параметров от объемной доли пьезоэлектрической фазы в МЭ материале. При этом учтено, что объем кубической ячейки, определяемый как сумма объемов магнитострикционной и пьезоэлектрической фаз, равен 1, объем магнитострикционной фазы равен а³, а объем пьезоэлектрической фазы соответственно равен(1-а³). Поэтому объемную долю пьезоэлектрической фазы в магнитоэлектрическом материале можно определить по формуле:

v=V_П/( V_П + V_М)= (1-а³)/1=1-а³, (3.72)

гдеV_П– объем пьезоэлектрической фазы; V_М – объем магнитострикционной фазы. Для нахождения эффективных пьезоэлектрических модулей полагаем, что исследуемый материал находится во внешнем электрическом поле, при этом внешнее магнитное поле отсутствует, т.е. H₃=0. При решении системы (3.67) учтено, что средние значения напряженностей электрического и магнитного полей в кубической ячейке определяются выражениями

E_{3= ⁴E3 ,} H_{3 = ⁴H3. (3.73)}

Результаты вычисления эффективных пьезоэлектрических модулей изображены на рис. 3.18 и 3.19.

Рис. 3.18. Концентрационная зависимость пьезоэлектрического модуляd_31.

Рис. 3.19. Концентрационная зависимость пьезоэлектрического модуля d_33.

Из рис. 3.18 и 3.19 следует, что в предельных случаях (v=0 и v=1) значения эффективных пьезоэлектрических модулей совпадают с пьезоэлектрическими модулями компонент композита, приведенными в таблице 3.4. Для нахождения эффективных пьезомагнитных модулей полагаем, что исследуемый материал находится во внешнем магнитном поле, при этом внешнее электрическое поле отсутствует, т.е. E₃₌₀ (3.74). Решение системы уравнений (3.76) для этого случая позволяет получить зависимость эффективных пьезомагнитных модулей от объемной доли пьезоэлектрической компоненты (рис. 3.20, 3.21).

Рис. 3.20. Концентрационная зависимость эффективных пьезомагнитных модулей q_{31 и q32}

Рис. 3.21. Концентрационная зависимость эффективного пьезомагнитного модуля q₃₃

Значения эффективных пьезомагнитных модулей в предельных случаях (v=0 и v=1), как следует из рис. 3.20 и 3.21, совпадают с параметрами исходных компонент (табл. 3.4).

Для нахождения эффективной магнитной проницаемости полагаем, что E_{3=0,а в исследуемом образце создается магнитная индукция}

B₃ = ¹B₃ a^{2+ 3}H₃ m₀ a(1-a) + ⁴H_{3m0 (1 – a)}Рис. 3.22. График концентрационной зависимости m_{33 от v.}

Рис. 3.23. Концентрационная зависимость эффективной диэлектрической проницаемости

Полученная графическая зависимость позволяет определить концентрации пьезоэлектрической и магнитострикционной фаз, чтобы получить максимальное значение эффективной магнитоэлектрической восприимчивости. Данное обстоятельство становится очень важным при проектировании устройств функциональной электроники на основе магнитоэлектрического взаимодействия.

При проектировании устройств функциональной электроники важным параметром является МЭ коэффициент по напряжению

a_{E, 33= – α 33/e33 (3.75)}

Концентрационная зависимость МЭ коэффициента по напряжению приведена на рис. 3.25. Эта зависимость позволяет определить концентрации пьезоэлектрической и магнитострикционной фаз, чтобы получить максимальное значение эффективного магнитоэлектрического коэффициента. Данное обстоятельство также учитывается при проектировании различных устройств функциональной электроники.

Рис. 3.24. Концентрационная зависимость МЭ восприимчивости для композита со связностью 3-0

Рис. 3.25. График концентрационной зависимости МЭ коэффициента по напряжению для композита со связностью 3-0:1 – расчет по предложенной модели, 2 – расчет по модели [49] для a′_{E33 = E3/^mH3}

Для контроля вычислений был произведен расчет магнитоэлектрического коэффициента, равного отношению среднего по объему образца электрического поля к магнитному полю в ферритовой компоненте a′_{E33 = E3/^mH3для свободного образца с материальными параметрами [49] (рис. 3.26).}

Значения МЭ коэффициента на рис. 3.26 совпадают с данными [49], что подтверждает правильность проведенных расчетов.

Как следует из рис. 3.25, МЭ коэффициент, равный отношению среднего по объему образца электрического поля к магнитному полю в ферритовой компоненте и найденный согласно модели [49], приблизительно на 20 % больше МЭ коэффициента, равного отношению среднего по объему образца электрического поля к среднему значению магнитного поля и вычисляемого по предлагаемой модели. Это объясняется тем, что внутреннее магнитное поле в ферритовой компоненте значительно отличается от внешнего магнитного поля.

Рис. 3.26. График концентрационной зависимости a′₃₃ = E₃/^mH₃для композита с материальными параметрами [49].

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

 

Расчет согласно уравнениям (3.67) с учетом найденных ранее значений эффективных пьезомагнитных модулейприводит к зависимости эффективной магнитной проницаемости от объемной доли пьезоэлектрической фазы, изображенной на рис. 3.22.

Для нахождения эффективной диэлектрической проницаемостиполагаем, что внешнее магнитное поле отсутствует, т.е. H_{3=0, а в образце создается электрическая индукция D3=s. Учитывая найденные ранее значения эффективных пьезоэлектрических модулей, получаем зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от объемной доли пьезоэлектрической фазы, изображенную на рис. 3.23.}

Анализ рисунка 3.23 показывает, что в предельных случаях (v=0 и v=1) значения эффективной диэлектрической проницаемости совпадают с диэлектрическими проницаемостями компонент композита, приведенными в таблицах 3.3 и 3.4.

Для нахождения эффективной МЭ восприимчивостиполагаем, что среднее значение магнитной индукции в образце равно нулю, а среднее значение электрической индукции D_3=s.Решение системы уравнений (3.29) для этого случая с учетом найденных ранее значений эффективных пьезоэлектрических и пьезомагнитных модулей, а также эффективной диэлектрической проницаемости позволяет получить зависимость эффективной МЭ восприимчивости от объемной доли пьезоэлектрической фазы, которая изображена на рис. 3.24.

 

(3.55)

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации