4.1.3. Прямоугольная пластинка конечной ширины

Пусть образец имеет форму пластинки, ширина которой W соизмерима с ее длиной L (рис. 4.6). В этом случае необходимо рассматривать колебания среды, распространяющиеся как вдоль оси X, так и вдоль оси Y [136]. В данном случае, отличными

от нуля компонентами тензора напряжений в объеме образца будут T1 и T2. Уравнения (4.2) и (4.3) для поперечной ориентации полей запишутся в виде

S₁= s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + d₃₁E₃ + q₁₁H₁ (4.22)

S₁= s₁₂T₁ + s₁₁T₂ + d₃₁E₃ + q₁₂H₁ (4.23)

D₃= e₃₃E₃ + d₃₁ (T₁+ T₂) + m₃₁H₁ (4.24)

Выразим из (4.22)и (4.23) компоненты тензора напряжений T₁ и T_2. В результате вычислений получим для них выражения

, (4.25)

, (4.26)

где - коэффициент Пуассона.

Подставляя (4.25) и (4.26) в уравнение движения (4.1), получим дифференциальные уравнения для смещений среды и , решения которых запишем в виде

, (4.27)

, (4.28)

где параметр в данном случае определяется соотношением .

Постоянные интегрирования найдем из граничных условий. Боковые грани пластинки свободные и результирующая сила, действующая на каждую из них равна нулю, следовательно, мы имеем следующие граничные условия

 

, при и , (4.29)

, при и . (4.30)

Подставляя уравнение (4.25) в (4.28), а (4.26) в (4.30) и выполняя интегрирование,получим систему уравнений, решение которой дает следующие выражения для постоянных интегрирования

,(4.31)

,(4.32)

,(4.33)

.(4.34)

Здесь введено обозначение и безразмерные параметры и .

Возникающую напряженность электрического поля найдем из уравнения (4.24) с использованием условия разомкнутой цепи, которое в данном случае запишется в виде

(4.35)

Подставляя выражения (4.25) и (4.26) в (4.24) а затем получившееся выражение в (4.35) и выполняя интегрирование, получим уравнение

(4.36)

Подставляя решения (4.27) и (4.28) в уравнение (4.36) с учетом выражений для постоянных интегрирования (4.31)-(4.34) и используя определение магнитоэлектрического коэффициента по напряжению , получим для него выражение

(4.37)

Здесь введено обозначение

))) (4.38)

При продольной ориентации полей уравнения (4.22)-(4.24) запишутся в виде

S₁= s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + d₃₁E₃ + q₃₁H₃ (4.39)

S₂= s₁₂T₁ + s₁₁T₂ + d₃₁E₃ + q₃₁H₃ (4.40)

D₃= e₃₃E₃ + d₃₁ (T₁+ T₂) + m₃₃H₃ (4.41)

Проводя аналогичные вычисления, для продольного магнитоэлектрического коэффициента по напряжению получим выражение

(4.42)

где Δ по прежнему определяется уравнением (4.38).

Корни уравнения определяют максимумы на частотной зависимости магнитоэлектрического коэффициента по напряжении. В отличие от выражения (4.21) для магнитоэлектрического коэффициента узкой пластинки, в уравнения (4.38) входят два безразмерных параметра и , определяющие частотную зависимость магнитоэлектрического коэффициента. Это приводит к тому, что при соизмеримых размерах длины и ширины пластинки появляются два близко расположенных пика на частотной зависимости магнитоэлектрического коэффициента. При определенном соотношении параметров эти два пика могут слиться и образовать один широкий. На рис.4.7 представлена частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента по напряжению для широкой полоски. Как видно из рисунка, наблюдается два пика, обусловленные колебаниями вдоль оси X и вдоль оси Y. Кроме того, происходит незначительное изменение резонансной частоты. С увеличением ширины полоски резонансная частота продольных колебаний немного уменьшается. На рис. 4.8 представлена зависимость основной резонансной частоты колебаний в зависимости от ширины полоски.

Рис. 4.7. Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента. 1- узкая пластинка длиной 8 мм,2- широкая пластинка длиной 8 мм и шириной 6 мм. Коэффициент затухания c=18000 рад/c

Рис. 4.8.Зависимость резонансной частоты основной моды колебаний от ширины пластинки. Длина пластинки L=0.8 мм

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации