3.1.1. Модель и основные уравнения

Для получения эффективных материальных параметров композитов используется метод усреднения, состоящий из двух этапов [53-56]. На первой стадии композит рассматривается как структура, состоящая из пьезоэлектрической и магнитострикционной фаз.

Магнитоэлектрические композиты характеризуются наличием в этих материалах взаимодействующих между собой магнитной и электрической подсистем. Уравнение пьезоэлектрического эффекта может быть записано в следующем виде:

(3.1)

где P - электрическая поляризация (матрица 3x1), d - пьезоэлектрический модуль (матрица 3x6) и T – механическое напряжение (матрица 6x1).

Для электрического смещения D справедливо выражение:

D=d•T+ε^T•E, (3.2)

где E - электрическое поле (матрица 3x1), ε^T - диэлектрическая проницаемость свободного образца (при Т=0).

При условии разомкнутой цепи, т.е. D=0, из (3.2) следует, что
E= (-d/ε^T)T. (3.3)

Магнитострикция - деформация материала в магнитном поле - может быть выражена следующим образом, в пренебрежении гистерезисом

S= bM², (3.4)

где S - деформация (матрица 6x1), b – магнитоупругая константа (матрица 6x6), и M – намагниченность. При наличии подмагничивающего поля магнитострикция может рассматриваться как псевдо-пьезомагнетизм при малой амплитуде переменного магнитного поля, где величина магнитострикционной кривой может быть принятапостоянной. Таким образом, псевдо-пьезомагнитный эффект может быть выражен следующим образом:

(3.5)

где q – пьезомагнитный коэффициент (матрица 6x3).

Таким образом, общее выражение для деформации материала может быть записано как:

(3.6)

Из (3.6) для деформации и электрического смещения пьезоэлектрической фазы следуют уравнения:

 

^pS_i = ^ps_ij^pT_j + ^pd_ki^pE_k, (3.7)

^pD_k = ^pd_ki ^pT_i + ^pε_kn ^pE_n, (3.8)

где ^pS_i–компоненты тензора деформаций пьезоэлектрической фазы;
^pE_k–компоненты вектора напряженности электрического поля;
^pD_k–компоненты вектора электрического смещения;
^pT_j–компоненты тензора напряжений пьезоэлектрической фазы;
^ps_ij–коэффициенты податливости;
^pd_ki–пьезоэлектрические модули;
^pε_kn–тензор диэлектрической проницаемости.

В уравнениях (3.7) и (3.8) не учтена сила тяжести, поскольку она мала по сравнению с внутренними силами, обусловленными взаимодействием фаз.

Магнитострикционная фаза может быть описана уравнениями:

^mS_i = ^ms_ij^mT_j + ^mq_ki^mH_k, (3.9)
^mB_k = ^mq_ki^mT_i + ^mμ_kn^mH_n, (3.10)

где ^mS_i–компоненты тензора деформаций магнитострикционной фазы;
^mT_j–компоненты тензора напряжений магнитострикционной фазы;
^ms_ij–коэффициенты податливости;
^mH_k–компоненты вектора напряженности магнитного поля;
^mB_k–компоненты вектора магнитной индукции;
^mq_ki–пьезомагнитные модули;
^mμ_kn–тензор магнитной проницаемости.

Уравнения (3.9)-(3.10) можно рассматривать как результат линеаризации магнитострикции. Прежние модели предполагали связь на границах раздела идеальной. В данной работе вводится параметр связи k=(^pS_i- ^pS_i0)/(^mS_i - ^pS_i0) (i =1,2), где ^pS_i0 - Этот параметр зависит от качества механического контакта на границе раздела и определяет соотношение между деформациями пьезоэлектрического и магнитострикционного слоев. Коэффициент связи k=1 для идеальной связи и k=0 в случае отсутствия трения.компоненты тензора деформаций, соответствующие отсутствию трения между слоями [56].

На второй стадии двухслойная структура рассматривается как однородный материал, для которого справедливы соотношения:
S_i = s_ijT_j + d_kiE_k+ q_kiH_k, (3.11)
D_k = d_kiT_i + ε_knE_n+ α_knH_n, (3.12)
B_k = q_kiT_i + α_knE_n + μ_knH_n, (3.13)

где S_i–компоненты тензоров деформаций;
T_j–компоненты тензоров напряжений;
E_k– компоненты векторов напряженности электрического поля;
D_k–компоненты векторов электрического смещения;
H_k–компоненты векторов напряженности магнитного поля;
B_k–компоненты векторов магнитной индукции;
s_ij–эффективные коэффициенты податливости;
d_ki–эффективные пьезоэлектрические модули;
q_ki–эффективные пьезомагнитные модули, м/А;
ε_kn–эффективные диэлектрические проницаемости;
μ_kn–эффективные магнитные проницаемости;
α_kn–магнитоэлектрическая восприимчивость.

Совместное решение уравнений (3.7)–(3.13) позволяет найти эффективные параметры композита.

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации