IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

ВВЕДЕНИЕ

Фондовые рынки во все времена своего существования привлекали большое внимание инвесторов, которые рассматривают фондовые рынки в качестве возможности эффективного вложения собственного капитала в ценные бумаги и дальнейшего приумножения капитала.

Вопрос выгодного вложения собственного капитала в ценные бумаги не теряет с годами свою актуальность, а наоборот, с развитием «информационной» экономики в информационную эпоху с использованием новейших технологий и инноваций, подобный способ заработка становится все более популярным. Преимущества его состоят прежде всего в удобстве: возможность работать в любых условиях, где есть быстрый интернет, необходимо лишь наличие мощного компьютера или ноутбука, а также источников информации для проведения быстрой оценки макроэкономической ситуации или анализа отдельных эмитентов. Важнейшими факторами для проведения успешных операций на фондовом рынке являются знания, информация и интуиция, в противном случае капитал легко потерять на фондовом рынке.

Умение прогнозировать возможное движение цены зачастую является главным фактором, позволяющим извлекать прибыль из операций не только на фондовом, но также на валютном и товарном рынках. Прогнозирование с использованием математических моделей существенно увеличивает позитивную вероятность прогноза, то есть соответствие прогноза фактическим значениям цен в будущем.

В этой связи можно выделить актуальность данной курсовой работы, где была сделана попытка построения адекватной эконометрической регрессионной модели прогноза доходности по индексу РТС. В настоящее время многие российские инвесторы ищут выгодные средства вложения собственного капитала, и фондовый рынок может служить одним из них. Поэтому исследования в области прогнозирования доходности по тому или иному инструменту актуальны в наши дни.

Цели исследования заключаются в разработке статистически значимой регрессионной модели прогноза доходности по индексу РТС, а также в построении краткосрочных прогнозов динамики доходности индекса РТС в соответствии с тремя сценариями развития международной экономической ситуации.

Для достижения целей исследования были поставлены следующие задачи :

• сбор и анализ статистической базы по динамике индексов РТС, MSCI EM и MSCI World, а также статистики по ценам на нефть марок Brent и WTI за 2005-2011 гг.;
• анализ теоретической базы по созданию эконометрической регрессионной модели;
• подведение итогов и оценка полученных результатов.

Практическая значимость работы состоит в возможности прикладного использования полученной регрессионной модели для прогнозирования доходности по индексу РТС, что увеличит вероятность принятия инвестором правильных управленческих решений, что соответственно приведет к увеличению дохода инвестора.

Работа включает введение, основную часть, заключение и список литературы. Основная часть состоит из двух глав. Глава 1 называется: «Внешние факторы, влияющие на рынок РТС». Название главы 2: «Создание и тестирование эконометрической модели динамики доходности по индексу РТС». В заключении рассматриваются результаты проведенного исследования и подводятся итоги.

Список литературы насчитывает 12 наименований.

ГЛАВА 1. ВНЕШНИЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИНДЕКС РТС

Индекс РТС является официальным индикатором Фондовой биржи РТС и общепризнанным показателем состояния российского фондового рынка. Впервые был рассчитан 1 сентября 1995 г. Индекс рассчитывается в режиме реального времени в течение всей торговой сессии биржи РТС (с 10:30 до 18:00 по московскому времени) при каждом изменении цены акции, включенной в список для его расчета[1]. Расчет индекса РТС ведется в пунктах. Значение индекса РТС составляет отношение суммарной рыночной капитализации акций, включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации на начальную дату, умноженное на значение индекса на начальную дату и на корректирующий коэффициент. Таким образом, рыночная капитализация рассчитывается на основе данных о ценах акций и количестве выпущенных эмитентом акций, с учетом доли акций, находящихся в свободном обращении.

В настоящее время индекс РТС включает 50 наиболее капитализированных и ликвидных акций[2]. Список акций для расчета индекса пересматривается раз в квартал на основании показателей капитализации, ликвидности и экспертной оценки. Среди компаний, которые включены в данный индекс, можно назвать Газпром (15,00% в индексе), ЛУКОЙЛ (14,24%), Сбербанк России (12,89%), Роснефть (6,07%), Норильский никель (4,24%), Сургутнефтегаз (4,49%), НОВАТЭК (6,38%), РусГидро (1,78%), Банк ВТБ (3,01%), Уралкалий (5,88%) (по данным на май 2010 г.)[3].

Индекс РТС отражает общее состояние крупнейших российских эмитентов, перспективы их развития в будущем. Расчет индекса стремится к максимально адекватному отражению структуры российской экономики.

Значения индекса РТС подвергаются постоянному влиянию фундаментальных факторов, которые будут рассмотрены в данной работе.

Известно, что совокупный индекс капитализации компаний, которым является РТС, отражает экономическое положение страны. Российская экономика подвержена влиянию внешних факторов, являясь прежде всего экспортно-ориентированной, с основной статьей экспорта - минеральные ресурсы и энергоносители. Цены на энергоносители определяются спросом и предложением на международном рынке и зависят от развития экономик стран-импортеров энергоресурсов, которые предоставляют платежеспособный спрос. То есть если страны готовы платить за энергоресурсы и спрос на данный вид ресурсов растет, соответственно при прочих равных условиях растут цены на энергоресурсы. При завышенных ценах на энергосырье страдают все экономики, как энергоэкспортеров, так и энергоимпортеров.

Таким образом Россия, являясь крупнейшей страной-энергоэкспортером, не может оказывать сильное влияние на цены на энергоресурсы и минеральное сырье на международном рынке. Еще одной причиной этому служит существование конкуренции на рынке энергоресурсов, действуют международные организации, защищающие собственные интересы (ОПЕК и другие).

Поскольку международная ситуация сильнейшим образом сказывается на развитии российской экономики, постольку основные индексы капитализации компаний на фондовом рынке (индексы РТС и ММВБ) подвержены влиянию внешних факторов.

Если проанализировать динамику движения индекса РТС, к примеру, за период с начала 2008 г. по ноябрь 2011 г. (рис. 1), можно заметить взаимосвязь показателей индекса РТС и основных международных тенденций в экономике.

Источник: Официальный сайт биржи РТС. - http://www.rts.ru/ru/index/idxgraph.html

На графике видно, что минимальное значение индекса РТС за 2008-2011 г. было в январе 2009 г., составив 78,4% коррекции вниз, если за нулевую отметку принять значение индекса РТС в июне 2008 г. Причины столь значительного падения капитализации российских компаний-эмитентов можно связать с мировым финансовым кризисом 2008-2009 гг., стагнацией экономик развитых стран, что отразилось и на состоянии российской экономики.

Следующий минимум показателей индекса РТС пришелся на июль 2009 г., коррекция составила -64% по отношению к июню 2008 г., когда российская экономика находилась в состоянии пика роста. Здесь повлияла негативная статистика по российским экономическим показателям за первый квартал 2009 г., но прежде всего причиной данного падения стало появление макроэкономической статистики из США 10.07.2009. В этот день стало известно, что дефицит торгового баланса США в мае 2009 г. вырос по сравнению с апрелем на 11%, что является минимальным показателем с ноября 1999 г. по итогам торговой сессии 10 июля индекс РТС снизился на 5,62%.[4]

Следующее падение индекса РТС случилось в мае 2010 г., коррекция составила -45% к показателю июня 2008г. Здесь также особое влияние на рынки Emerging Markets оказало стремительное обесценение сырья (нефти и металлов)[5].

Минимум октября 2011 г. по индексу РТС обновил предыдущий минимум, коррекция составила -49%. В этот день Индекс РТС опустился ниже 1260 пунктов вслед за основными мировыми индексами на фоне опасений дефолта Греции. Европейские индексы FTSE, S&P 350 и DAX потеряли 2,7-3,4%. Нефть также подешевела, фьючерс на нефть марки WTI снизился до 76,19 долл. за баррель[6].

Подобная динамика взаимосвязи показателей индекса РТС с политическими и экономическими событиями за рубежом позволяет сделать вывод о наличии значительного влияния внешних факторов на индекс РТС.

Проанализируем факторы, которые наиболее значительным образом влияют на показатели индекса РТС. Очевидно, что одним из подобных факторов являются цены на энергоресурсы, прежде всего на европейской и американской товарных биржах. В качестве эталона можно взять цены на нефть американской марки WTI и европейской марки Brent.

На индекс РТС также оказывает влияние международная экономическая обстановка. Для отражения состояния экономики определенных групп стран рассчитываются специальные индексы. Например, в группу индексов MSCI (Morgan Stanley Capital International) входит совокупный индекс фондовых рынков развивающихся стран или индекс развивающихся стран (The MSCI Emerging Markets Index)[7]. Данный индекс оценивает рыночную капитализацию компаний развивающихся рынков. Индекс включает показатели 21 странового индекса следующих развивающихся рынков: Бразилия, Китай, Чили, Колумбия, Чехия, Египет, Венгрия, Индия, Индонезия, Корея, Малайзия, Мексика, Марокко, Перу, Филиппины, Польша, Россия, ЮАР, Тайвань, Таиланд и Турция.

Группа индексов MSCI (Morgan Stanley Capital International) включает также взвешенный индекс капитализации компаний развитых рынков (The MSCI World Index). Данный индекс рассчитывается на основе данных индексов капитализации компаний 23 развитых стран: Австралия, Австрия, Бельгия, Канада, Дания, Финляндия, Франция, Германия, Греция, Ирландия, Израиль, Италия, Япония, Голландия, Новая Зеландия, Норвегия, Португалия, Сингапур, Испания, Швейцария, Швеция, Великобритания и США, а также 1 специального административного района Китая - Гонконг.

Таким образом, можно сделать предположение, что на индекс РТС будут оказывать влияние показатели индексов MSCI EM, а также MSCI World, которые отражают состояние экономик развивающихся и развитых стран, то есть международную экономическую ситуацию в целом.

Взаимосвязь показателей по индексу РТС с индексами MSCI EM и MSCI World, а также ценами на нефть марок Brent и WTI можно наблюдать графически (диаграмма 1). Можно заметить, что графики цен нефти марок Brent и WTI практически повторяют друг друга. График индекса MSCI World менее волатилен, чем график MSCI EM, что объясняется достаточно устойчивым развитием экономик развитых стран. Экономики развивающихся стран, а также капитализация их компаний на фондовом рынке, росли более быстрыми темпами, чем экономики развитых стран, но тем стремительней и глубже оказалось снижение капитализации компаний развивающихся стран в январе 2009 г. При этом индекс РТС упал ниже, чем совокупный индекс развивающихся стран. Очевидно также, что падение цен на нефть в январе 2009 г. оказало влияние как на индекс развивающихся стран, так и на индекс развитых стран.

Таким образом, еще раз подтверждается тот факт, что показатели индекса РТС подвержены влиянию внешних факторов.

В практической части данной работы проведена попытка построения эконометрической модели, где в качестве экзогенных переменных выступают вышеописанные внешние факторы, и доходность по индексу РТС, то есть его изменение, является эндогенной переменной.

ГЛАВА 2. СОЗДАНИЕ И ТЕСТИРОВАНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ДОХОДНОСТИ ПО ИНДЕКСУ РТС

Для создания и тестирования регрессионной модели были собраны статистические данные по индексам РТС, MSCI EM и MSCI World, а также статистика по ценам нефти марок Brent за 2005-2010 гг. Так как графики цен на нефть марки Brent и WTI практически повторяют друг друга, доходность по WTI не следует включать в уравнение регрессии с целью избежания явления мультиколлинеарности.

В качестве эндогенной переменной У выступает значение доходности по индексу РТС, то есть значение последующего значения индекса к предыдущему. Подобным образом была рассчитана доходность по индексам развитых и развивающихся стран, а также изменение цен на нефть.

Экзогенная переменная Х1 представляет собой отношение последующего значения цены Brent к предыдущему; переменная Х2 - отношение последующего значения индекса MSCI EM к предыдущему; переменная Х3 - отношение последующего значения индекса MSCI World к предыдущему.

Все данные взяты в месячном выражении. Количество наблюдений - 81. Так как все переменные уравнения отражают изменение каких-либо показателей, единицами измерения являются проценты.

Были рассчитаны основные статистические показатели для выборки (таблица 1):

Таблица 1. Статистические показатели
	У	Х1	Х2	Х3
Среднее	1.0159	1.0154125	1.0129	1.00501
Стандартная ошибка	0.0111	0.009928	0.0086	0.00602
Медиана	1.0292	1.0260904	1.0123	1.01055
Мода	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Стандартное отклонение	0.1001	0.089352	0.0777	0.05418
Дисперсия выборки	0.01	0.0079838	0.006	0.00294
Эксцесс	3.3464	1.4162704	1.4482	1.8354
Асимметричность	-1.12	-1.012141	-0.701	-0.7918
Интервал	0.6389	0.4528938	0.445	0.31687
Минимум	0.5893	0.7309171	0.7265	0.80209
Максимум	1.2282	1.1838108	1.1714	1.11896
Сумма	82.289	82.24841	82.044	81.4058
Счет	81	81	81	81
Уровень надежности(95.0%)	0.0221	0.0197573	0.0172	0.01198

Для определения уравнения регрессии была использована двойная логарифмическая модель (log-log модель), то есть линеаризованная степенная функция. В линейном виде ее можно записать следующим образом:

log(Y)= + log(X1)+ log(X2)+ log(X3)+

Следует ожидать положительные знаки коэффициентов регрессии, так как с увеличением цен на нефть и доходности по основным мировым индексам доходность по индексу РТС также должна возрастать.

Для оценки коэффициентов линеаризованной регрессии возможно использование метода наименьших квадратов остатков, однако прежде следует проверить соблюдение некоторых требований. При выполнении условий Гаусса-Маркова оценки МНК будут наиболее эффективны:

1. Математическое ожидание случайных возмущений равно 0: E( =0;

2. Дисперсия возмущений постоянна и не зависит от номера наблюдений:

Var( = для любого номера наблюдений;

Для проверки первых двух условий достаточно произвести расчеты математического ожидания и дисперсии случайных возмущений.

3. Возмущения различных наблюдений некоррелированы, то есть отсутствует систематическая связь между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях: Cov( =0 при i не равно j.

Для проверки третьего условия Гаусса-Маркова для начала можно воспользоваться графическим методом. На диаграмме 2 заметно, что предыдущие и последующие значения мало связаны между собой.

Чтобы математически выявить наличие или неналичие автокорреляции, воспользуемся критерием Дарбина-Уотсона. Сформулируем гипотезу Н0: ro=0 (автокорреляции нет). Гипотеза Н1: ro>0 (наличие положительной автокорреляции).

Значение статистики Дарбина-Уотсона равно 1,896.

Левая граница dL при трех факторах и 81 наблюдении составляет 1,56; правая граница dU - 1,72. Так как значение статистики Дарбина-Уотсона находится в пределах от dU до 2, следовательно можно говорить о наличии отрицательной автокорреляции остатков. Принимается гипотеза Н0, гипотеза Н1 отвергается.

Полученные результаты позволяют утверждать о соблюдении требований Гаусса-Маркова и о возможности использования метода МНК для оценки коэффициентов линеаризованной регрессии.

С использованием функции ЛИНЕЙН в Excel были получены следующие оценки:

Таблица 2. Оценки коэффициентов
0.149	0.582	0.556	-0.002
0.336	0.234	0.080	0.007
0.685	0.061	#Н/Д	#Н/Д
55.866	77.000	#Н/Д	#Н/Д
0.629	0.289	#Н/Д	#Н/Д

Методом МНК получены следующие коэффициенты и уравнение регрессии по выборке:

log(Y^)=-0,002+0,556log(X1)+0,582log(X2)+0,149log(X3)

где Y - доходность по индексу РТС

Х1 - месячный индекс цен на нефть марки Brent (как отношение последующего значения цены

к предыдущему, в долларах)

Х2 - доходность по индексу MSCI Emerging Markets

X3 - доходность по индексу MSCI World

1. Проведем оценку статистической значимости уравнения на основе статистических гипотез. Гипотеза Н0 означает, что полученное уравнение незначимо (между У и Х нет систематической связи, полученные оценки случайны)

Тогда гипотеза Н1 предполагает значимость уравнения.

Проверим гипотезу Н0:

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия (статистика Фишера) найдем из таблицы, полученной по функции ЛИНЕЙН: Fстат = 55,87

Fкр (5%, 77, 3)@2,7 - табличное значение критерия Фишера на 5%-м уровне значимости, с тремя факторами и 77 степенями свободы.

Уравнение признается статистически значимым на 5% уровне значимости, между факторами и результирующей переменной существует систематическая связь, гипотеза Н0 отвергается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Аср = 4.8%

Средняя ошибка аппроксимации составила 4,8%, что указывает на относительно хорошее качество составленной модели.

2. Проверим коэффициенты регрессии на значимость.

Воспользуемся гипотезами: Гипотеза Н0 соответствует утверждению, что полученные коэффициенты регрессии получены случайным образом и являются незначимыми; тогда гипотеза Н1 означает, что коэффициенты регрессии и свободный коэффициент значимы.

Проверим гипотезу Н0 при помощи t - статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из коэффициентов.

Табличное значение двустороннего t - критерия для числа степеней свободы 77 и доверительного интервала 0,05 составит: tкр @ 1,99

Рассчитаем t - статистику для каждого из коэффициентов, для этого коэффициент разделим на его стандартную ошибку:

tстат (Х1) 6.92

tстат (Х2) 2.49

tстат (Х3) 0.44

tстат (а) -0.28 Тест Стьюдента показывает, что в отношении факторов Х1 и Х2 гипотеза Н0 отвергается, так как значения t-статистики коэффициентов при Х1 и Х2 превосходят критическое значение t-статистики, подтверждается гипотеза Н1, то есть данные коэффициенты являются статистически значимыми.

Значение t - статистики для коэффициентов при регрессоре Х3 и при свободном коэффициенте по модулю меньше критического значения t - статистики, следовательно здесь подтверждается гипотеза Н0, то есть данные коэффициенты получены случайным образом и не обладают статистической значимостью.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессионного уравнения при уровне значимости 5%: нижняя граница параметра = значение параметра - станд. ошибка параметра * tкр

верхняя граница параметра = значение параметра + станд. ошибка параметра * tкр

Таблица 3. Доверительные интервалы коэффициентов
	Нижняя граница	Верхняя граница
Свободный коэффициент	-0.016	0.012
Коэффициент при Х1	0.396	0.715
Коэффициент при Х2	0.117	1.048
Коэффициент при Х3	-0.519	0.817

Нижние и верхние границы параметров регрессионного уравнения близки к значениям соответствующих расчетных коэффициентов.

3. Проинтерпретируем полученные коэффициенты детерминации, корреляции и эластичности.

Коэффициент детерминации R = 0,685 (из оценки по функции ЛИНЕЙН)

Коэффициент детерминации показывает, насколько факторы уравнения объясняют значение эндогенной переменной. В данном случае индекс цен на нефть марки Brent, доходность по индексам MSCI EM и MSCI World на 68,5% объясняют доходность по индексу РТС.

Проинтерпретируем коэффициенты эластичности расчетного уравнения log(Y^)=-0,002+0,556log(X1)+0,582log(X2)+0,149log(X3)

Коэффициент эластичности доходности индекса РТС по индексу цен на нефть марки Brent составляет 0,556 и показывает, что при росте цены на нефть на 1% доходность по индексу РТС вырастет на 0,556% при неизменности прочих факторов.

Коэффициент эластичности доходности индекса РТС по доходности индекса MSCI EM составляет 0,58, то есть при росте доходности по индексу MSCI EM на 1%, доходность по индексу РТС также вырастет на 0,58%.

Коэффициент эластичности доходности индекса РТС по доходности индекса MSCI World составляет 0,15, то есть при росте доходности по индексу MSCI World на 1%, доходность по индексу РТС вырастет на 0,15%.

Таблица 4. Коэффициенты межфакторной и парной корреляции
	У	Х1	Х2	Х3
У	1.00
Х1	0.67	1.00
Х2	0.67	0.37	1.00
Х3	0.64	0.37	0.93	1

Коэффициент корреляции между индексом цен марки Brent и доходностью по индексу РТС составляет 0,67, то есть между двумя показателями существует прямая и довольно сильная связь.

Коэффициент корреляции между показателями доходности по индексу MSCI EM и доходностью по индексу РТС составляет 0,67 и показывает, что доходность по РТС и доходность по MSCI EM также сильно взаимосвязаны.

Коэффициент корреляции между показателями доходности по индексу MSCI World и доходностью по индексу РТС составил 0,64, указывая на наличие сильной прямой связи между показателями.

Проанализируем межфакторные коэффициенты корреляции.

Межфакторная корреляция между индексом цен на нефть и доходностью по индексу MSCI EM незначительна, корреляция между индексом цен на нефть и доходностью по индексу MSCI World также мала (0,37). Что касается межфакторной корреляции между показателями доходности по индексу MSCI EM и индексу MSCI World, здесь наблюдается сильная межфакторная корреляция (0,93), присутствует явление мультиколлинеарности.

4. Рассчитаем стандартизированные коэффициенты регрессии ty=ß1tx1+ß2tx2++ß3tx3+?.

Стандартизированный коэффициент равен произведению коэффициента при регрессоре и среднеквадратического отклонения регрессора, которое затем делится на среднеквадратическое отклонение эндогенной переменной.

Рассчитаем средние квадратические отклонения:

Таблица 5. Средние кв. отклонения
У	0.10
Х1	0.09
Х2	0.08
Х3	0.05
	Таблица 6. Стандартизованные коэффициенты
	ß1	0.50
	ß2	0.45
	ß3	0.08

Стандартизированное уравнение будет иметь вид:

ty^=0,5tx1+0,45tx2+0,08tx3

Коэффициенты стандартизированного уравнения показывают, что цены на нефть оказывают большее влияние на доходность по индексу РТС, влияние доходности по индексам MSCI EM и MSCI World меньше, так как коэффициет ß1>ß2 и ß1>ß3. Стандартизованный коэффициент при индексе цен на нефть также показывает, что если индекс цен на нефть изменится на свое стандартное отклонение (+- 0,09), тогда доходность по индексу РТС изменится на величину стандартное отклонение доходности по индексу РТС * коэффициент при tx1(%).

Если значение доходности по индексу MSCI EM изменится на свое стандартное отклонение (+-0,8), тогда доходность по индексу РТС изменится на величину стандартное отклонение доходности по индексу РТС * коэффициент при tx2(%).

Если значение доходности по индексу MSCI World изменится на свое стандартное отклонение (+-0,05), тогда доходность по индексу РТС изменится на величину стандартное отклонение доходности по индексу РТС * коэффициент при tx3(%).

Если сравнить тесноту связи, характеризуемую стандартизированными коэффициентами, и силу связи, объясняемую коэффициентом эластичности, между экзогенными и эндогенной переменными (Эх1=0,556, Эх2=0,58, Эх3=0,15), можно увидеть, что теснота и сила связи между доходностью по индексу РТС и доходностью по индексу MSCI World самая небольшая в сравнении с другими факторами. По тесноте и по силе связи цена на нефть марки Brent и индекс MSCI EM в равной степени влияют на динамику индекса РТС

5. Проанализируем частные коэффициенты корреляции первого и второго порядков, которые характеризуют тесноту связимежду результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Для расчетов частных коэффициентов корреляции используем парные и межфакторные коэффициенты корреляции.

Таблица 4. Коэффициенты межфакторной и парной корреляции
	У	Х1	Х2	Х3
У	1.00
Х1	0.67	1.00
Х2	0.67	0.37	1.00
Х3	0.64	0.37	0.93	1

при постоянном действии фактора Х2 корреляция У и Х1 оказывается более низкой.

ryx1.x2=0.62

ryx2.x1=0.61

при неизменности фактора Х1 влияние фактора Х2 на У оказывается менее сильным.

ryx3.x2=0.07

при неизменности фактора Х2 влияние фактора Х3 на У оказалось абсолютно незначительным, по сравнению с парным коэффициентом корреляции.

ryx3.x1=0.57

при фиксированном влиянии фактора Х1 корреляция фактора Х3 с У снизилась.

rx1х3.x2 0.07

при неизменности фактора Х2 межфакторная корреляция между Х1 и Х3 снижается до 7% (на 30%).

rx2х3.x1=0.91

при фиксации фактора Х1 межфакторная корреляция между факторами Х2, Х3 незначительно снизилась, по-прежнему наблюдается явление мультиколлинеарности.

Приведем частные коэффициенты корреляции второго порядка:

rуx1.х3x2 0.62

при фиксированном влиянии факторов Х2 и Х3 корреляция Х1 и У незначительно снизилась и равна корреляции Х1 и У при элиминировании лишь одного фактора Х2.

rуx2.х3x1=0.27

Корреляция фактора Х2 с У снизилась с 0,67 до 0,27 при элиминировании факторов Х1 и Х3.

rуx3.х1x2=0.04

при устранении влияния факторов Х1 и Х2 значение корреляции фактора Х3 с У снизилось до 4%.

Частные коэффициенты корреляции обычно не обладают собственным значением и используются на стадии формирования модели.

В данном случае коэффициенты парной и частной корреляции больше всего отличны при факторе Х3. Коэффициент корреляции rx2х3.x1 = 0.91 подтвердил наличие мультиколлинеарности между факторами Х2 и Х3. Коэффициенты корреляции ryx3.x2 = 0,07 и rуx3.х1x2 = 0,04 также демонстрируют сильную взаимосвязь между доходностями по индексам MSCI EM и MSCI World. При устранении влияния факторов индекса цен на нефть и доходности по MSCI EM коэффициент корреляции между доходностью по индексу РТС и доходностью по индексу MSCI World составит 4%. Высокий коэффициент парной корреляции = 0,64 между доходностью по индексу РТС и доходностью по индексу MSCI World объясняется высокой взаимосвязью показателей MSCI EM и MSCI World.

На основании показателей частных коэффициентов корреляции первого и второго порядков, стандартизированных коэффициентов регрессии, а также значений стандартных ошибок в трехфакторной модели есть смысл исключить фактор Х3 из уравнения регрессии и составить новое расчетное уравнение.

6. Для определения нового уравнения регрессии снова используем двойную логарифмическая модель (log-log модель). В линейном виде ее можно записать следующим образом:

log(Y)= + log(X1)+ log(X2)+

С помощью функции ЛИНЕЙН найдем коэффициенты двухфакторного уравнения регрессии.

Таблица 7. Оценка параметров регрессии
0.677	0.558	-0.002
0.093	0.080	0.007
0.684	0.061	#Н/Д
84.572	78.000	#Н/Д
0.628	0.290	#Н/Д

Тогда новое уравнение регрессии получит вид:

log(Y^)=-0,002+0,558log(X1)+0,667log(X2)

Проведем оценку статистической значимости нового уравнения на основе статистических гипотез. Пусть гипотеза Н0 означает, что полученное уравнение незначимо (между У и Х нет систематической связи, полученные оценки случайны) Тогда гипотеза Н1 предполагает значимость уравнения. Проверим гипотезу Н0: Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера.

Фактическое значение F-критерия (статистика Фишера) найдем из таблицы, полученной по функции ЛИНЕЙН: Fстат = 84,57

Fкр (5%, 78,2)@3,1 - табличное значение критерия Фишера на 5%-м уровне значимости, с двумя факторами и 78 степенями свободы Уравнение признается статистически значимым на 5% уровне значимости, между факторами и результирующей переменной существует систематическая связь, гипотеза Н0 отвергается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:
Аср = 4,7%

Средняя ошибка аппроксимации составила 4,7%, что указывает на относительно хорошее качество составленной модели.

7. Проверим коэффициенты регрессии на значимость.

Воспользуемся гипотезами: Пусть гипотеза Н0 соответствует утверждению, что полученные коэффициенты регрессии получены случайным образом и являются незначимыми; тогда гипотеза Н1 означает, что коэффициенты регрессии и свободный коэффициент значимы.

Проверим гипотезу Н0 при помощи t - статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из коэффициентов.

Табличное значение двустороннего t - критерия для числа степеней свободы 78 и доверительного интервала 0,05 составит:

tкр @ 1,99

Рассчитаем t - статистику для каждого из коэффициентов, для этого коэффициент разделим на его стандартную ошибку:

tстат (Х1)=7.00

tстат (Х2)=7.27

tстат (а)=-0.35

Тест Стьюдента показывает, что в отношении факторов Х1 и Х2 гипотеза Н0 отвергается, так как значения t - статистики коэффициентов при Х1 и Х2 превосходят критическое значение t - статистики, подтверждается гипотеза Н1, то есть данные коэффициенты являются статистически значимыми.

Значение t - статистики для свободного коэффициента по модулю меньше критического значения t - статистики, следовательно здесь подтверждается гипотеза Н0, то есть данный коэффициент получен случайным образом и не обладает статистической значимостью.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессионного уравнения при уровне значимости 5%:

нижняя граница параметра = значение параметра - станд. ошибка параметра * tкр

верхняя граница параметра = значение параметра + станд. ошибка параметра * tкр

Таблица 8. Доверительные интервалы параметров
	Нижняя граница	Верхняя граница
Свободный коэффициент	-0.016	0.011
Коэффициент при Х1	0.399	0.716
Коэффициент при Х2	0.492	0.863

Нижние и верхние границы параметров регрессионного уравнения близки к значениям соответствующих расчетных коэффициентов. Заметно, что доверительный интервал для свободного коэффициента содержит 0, соответственно подтверждается гипотеза о незначимости данного коэффициента.

8. Проинтерпретируем полученные коэффициенты детерминации, корреляции и эластичности.

Коэффициент детерминации R = 0,684 (из оценки по функции ЛИНЕЙН)

Коэффициент детерминации показывает, насколько факторы уравнения объясняют значение эндогенной переменной. В данном случае индекс цен на нефть марки Brent, доходность по индексам MSCI EM на 68,4% объясняют доходность по индексу РТС.

В трехфакторной модели коэффициент детерминации равнялся 0,65, снизившись на 0,1 в двухфакторной модели.

Проинтерпретируем коэффициенты эластичности нового уравнения регрессии:

log(Y^)=-0,002+0,558log(X1)+0,667log(X2)

Коэффициент эластичности доходности индекса РТС по индексу цен на нефть марки Brent составляет 0,558 и показывает, что при росте цены на нефть на 1% доходность по индексу РТС вырастет на 0,558% при неизменности прочих факторов.

Коэффициент эластичности доходности индекса РТС по доходности индекса MSCI EM вырос по сравнению с предыдущим показателем коэффициента эластичности и в двухфакторной модели составляет 0,667, то есть при росте доходности по индексу MSCI EM на 1%, доходность по индексу РТС также вырастет на 0,667%.

Проанализируем коэффициенты межфакторной и парной корреляции в двухфакторной модели:

Таблица 9. Коэффициенты корреляции
	У	Х1	Х2
У	1.00
Х1	0.67	1.00
Х2	0.67	0.37	1.00

Коэффициенты корреляции не изменились, однако в двухфакторной модели отсутствует явление мультиколлинеарности в связи с отсутствием фактора Х3, фактора доходности по индексу MSCI World.

9. Рассчитаем новые стандартизированные коэффициенты регрессии ty=ß1tx1+ß2tx2+?.

Стандартизированный коэффициент равен произведению коэффициента при регрессоре и среднеквадратического отклонения регрессора, которое затем делится на среднеквадратическое отклонение эндогенной переменной.

Средние квадратические отклонения:

Таблица 10. Среднеквадратические отклонения
У	0.10
Х1	0.09		Таблица 11. Стандартизованные коэффициенты
Х2	0.08		ß1	0.50
			ß2	0.53

Стандартизированное уравнение будет иметь вид: ty^=0,5tx1+0,53tx2

Коэффициенты стандартизированного уравнения показывают, что в новой двухфакторной модели цены на нефть оказывают меньшее влияние на доходность по индексу РТС, и доходность по индексу MSCI EM больше влияет на индекс РТС (ß1=0,5, ß2=0,53)

Стандартизованный коэффициент при индексе цен на нефть показывает, что если индекс цен на нефть изменится на свое стандартное отклонение (+- 0,09), тогда доходность по индексу РТС изменится на величину стандартное отклонение доходности по индексу РТС * коэффициент при tx1(%).

Если значение доходности по индексу MSCI EM изменится на свое стандартное отклонение (+-0,8), тогда доходность по индексу РТС изменится на величину стандартное отклонение доходности по индексу РТС * коэффициент при tx2(%).

Если сравнить тесноту связи, характеризуемую стандартизированными коэффициентами, и силу связи, объясняемую коэффициентом эластичности, между экзогенными и эндогенной переменными (Эх1=0,558, Эх2=0,667), можно констатировать наличие более тесной и сильной связи между доходностью по индексу MSCI EM и доходностью по индексу РТС, изменение цен на нефть чуть в меньшей степени влияет на доходность по индексу РТС.

10. Частные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение двухфакторной регрессии, уже известны. Для расчетов частных коэффициентов корреляции используем парные и межфакторные коэффициенты корреляции.

Таблица 9. Коэффициенты корреляции
	У	Х1	Х2
У	1.00
Х1	0.67	1.00
Х2	0.67	0.37	1.00

ryx1.x2=0.62

ryx2.x1=0.61

При постоянном действии фактора доходности по индексу MSCI EM корреляция между изменением цен на нефть и доходностью по индексу РТС снижается. При фиксации цен на нефть корреляция между индексом MSCI EM и индексом РТС также уменьшается.

Коэффициенты частной корреляции показывают, что чуть более сильное влияние на индекс РТС оказывает изменение цен на нефть, чем изменение индекса MSCI EM.

Вывод: исключение фактора Х3 из трехфакторной регрессионной модели благоприятно отразилось на качестве модели. Прежде всего, исчезло явление мультиколлинеарности между факторами доходности по индексу MSCI EM и доходности по MSCI World. Одновременно увеличился коэффициент эластичности доходности РТС по доходности MSCI EM.

Коэффициент детерминации двухфакторной модели снизился на 0,001, сумма квадратов остатков увеличилась 0,001, ошибка аппроксимации снизилась на 0,1 процентных пункта, межфакторная корреляция исчезла, что делает двухфакторную модель в данном случае более предпочтительной.

В полученной модели коэффициент детерминации показывает, что вариация факторов изменения цен на нефть марки Brent и доходности по индексу MSCI EM на 68,4% объясняют вариацию доходности по индексу РТС, поэтому качество модели можно было бы улучшить путем дополнения каким-либо фактором (факторами).

На диаграмме 3 построены графики реальной и расчетной доходности по индексу РТС на основе полученной регрессионной модели. Заметно, что в некоторые периоды сумма квадратов остатков между расчетным и фактическим значением доходности особенно велика. Однако график расчетной доходности практически с точностью указывал на направление краткосрочных и долгосрочных трендов в целом, иногда различалась амплитуда колебаний. Полезно знать направление тренда, однако в будущем необходимо специфицировать модель с целью получения большего процента объясненной вариации значений доходности по индексу РТС вариацией экзогенных переменных.

СЦЕНАРИИ ИЗМЕНЕНИЯ ДОХОДНОСТИ РТС ПО ИЗМЕНИЮ ЦЕН НА НЕФТЬ

На основе полученной двухфакторной регрессионной модели построим двухмесячный прогноз доходности по индексу РТС. Рассмотрим 2 сценария развития ситуации: оптимистичный и пессимистичный, в зависимости от изменения цен на нефть марки Brent при постоянной доходности индексу MSCI EM.

Сценарий 1: Предположим, что цены на нефть будут расти на 5% каждый месяц при неизменности доходности по MSCI EM:

Таблица 12. Прогноз доходности в случае роста цен на нефть
	Отношение последующего значения индекса РТС к предыдущему p/p0	Отношение последующего значения цены Brent к предыдущему p/p0	Отношение последующего значения индекса MSCI EM к предыдущему p/p0	Расчетное значение
	У	Х1	Х2	Y^
Декабрь 2011		105%	100%	103%
Ноябрь 2011		105%	100%	103%
Октябрь 2011	93%	99%	113%	108%
Сентябрь 2011	91%	101%	85%	90%
Август 2011	86%	95%	91%	91%
Июль 2011	103%	102%	100%	101%
Июнь 2011	101%	99%	99%	98%
Май 2011	91%	93%	97%	94%
Апрель 2011	103%	108%	103%	106%
Март 2011	105%	110%	106%	109%
Февраль 2011	101%	108%	99%	103%
Январь 2011	108%	105%	97%	101%

Для нахождения расчетного значения эндогенной переменной воспользуемся уравнением регрессии:

log(Y^)=-0,002+0,558log(X1)+0,667log(X2)

При росте цен на нефть в ноябре и октябре на 5%, к примеру, доходность по индексу РТС также должна возрасти. Расчетные значения для ноября и декабря составили 103%.

Сценарий 2: Пусть цены на нефть будут падать в ноябре и декабре на 4% и на 10% соответственно.

При снижении цен на нефть в ноябре и декабре на 4% и на 10% соответственно, а также при неизменности доходности по индексу MSCI EM, в ноябре значение доходности по индексу РТС снизится на 2%, и в декабре еще на 6%.

Таблица 13. Прогноз доходности в случае снижения цен на нефть
	Отношение последующего значения индекса РТС к предыдущему p/p0	Отношение последующего значения цены Brent к предыдущему p/p0	Отношение последующего значения индекса MSCI EM к предыдущему p/p0	Расчетное значение
	У	Х1	Х2	Y^
Декабрь 2011		90%	100%	94%
Ноябрь 2011		96%	100%	98%
Октябрь 2011	93%	99%	113%	108%
Сентябрь 2011	91%	101%	85%	90%
Август 2011	86%	95%	91%	91%
Июль 2011	103%	102%	100%	101%
Июнь 2011	101%	99%	99%	98%
Май 2011	91%	93%	97%	94%
Апрель 2011	103%	108%	103%	106%
Март 2011	105%	110%	106%	109%
Февраль 2011	101%	108%	99%	103%
Январь 2011	108%	105%	97%	101%

Поскольку ноябрь-месяц уже закончился, можно сравнить прогнозное значение доходности по индексу РТС и расчетное. Среднемесячное значение цен на нефть выросло на 1%, однако доходность по индексу MSCI EM снизилась на 7%. Реальная доходность по индексу РТС увеличилась на 6%. Расчетное значение доходности по индексу РТС показало снижение на 4%, ошибка модели для данного наблюдения составила 10%.

Таблица 13. Показатели в ноябре
	Отношение последующего значения индекса РТС к предыдущему p/p0	Отношение последующего значения цены Brent к предыдущему p/p0	Отношение последующего значения индекса MSCI EM к предыдущему p/p0	Расчетное значение	Остатки модели
	У	Х1	Х2	Y^	E=Y-Y^
Ноябрь 2011	106%	101%	93%	96%	10%

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном исследовании была рассмотрена статистически значимая регрессионная модель прогноза доходности по индексу РТС на основе поведения различных внешних факторов (цена на нефть, доходность по индексу MSCI EM). Было установлено, что данные факторы практически одинаково влияют на индекс РТС. Вместе они на 68% объясняют поведение индекса РТС. Цена на нефть марок Brent и WTI в своем направленном движении определяет изменение индексов как РТС, так и, возможно, MSCI EM, так как на диаграмме 1 заметно, что практически всегда изменения индексов следуют за изменением цен на нефть. Однако, для более точного результат следует ввести в модель, возможно, какие-либо внутренние факторы.

Для определения уравнения регрессии была использована двойная логарифмическая модель (log-log модель), то есть линеаризованная степенная функция, которую в линейном виде можно записать следующим образом:

log(Y)= + log(X1)+ log(X2)+

Для оценки коэффициентов линеаризованной регрессии использовался метод наименьших квадратов остатков, так как были соблюдены основные предпосылки Гаусса-Маркова:

1. Математическое ожидание случайных возмущений равно 0;
2. Дисперсия возмущений постоянна и не зависит от номера наблюдений;
3. Возмущения различных наблюдений некоррелированы, то есть отсутствует систематическая связь между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях.

На основе полученной регрессионной модели был построен прогноз доходности по индексу РТС на ноябрь и декабрь 2011 г. Были разработаны 2 сценария развития ситуации в зависимости от поведения цен на нефть марки Brent при неизменном значении доходности по индексу MSCI EM:

1. Оптимистичный, если цена на нефть будет расти;
2. Пессимистичный, если цена на нефть будет падать.

При равномерном изменении цен на нефть (на одинаковое количество процентов за период) доходность по индексу РТС будет равномерно изменяться в сторону изменения цен на нефть.

При неравномерном (скачкообразном) изменении цен на нефть (на неодинаковое количество процентов за период) доходность по индексу РТС также будет неравномерно изменяться. Данный вариант является естественным образом наиболее вероятным.

К тому же, варианты сценария были разработаны с учетом неизменного поведения других факторов, однако в динамично меняющейся обстановке постоянство факторов редко возможно наблюдать. Как видно из таблицы 13, цена на нефть выросла, доходность по индексу MSCI EM снизилась. Индекс РТС последовал за ростом цен на нефть, показывая доходность 6%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анализ фондового рынка России за май 2010 года / Департамент по финансовому и фондовому рынку Краснодарского края. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.finmarket.kubangov.ru/content/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7-%D1%84%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%80%D1%8B%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8-%D0%B7%D0%B0-%D0%BC%D0%B0%D0%B9-2010-%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0
2. Балашова С.А. Динамика факторов риска российского фондового рынка / Аудит и финансовый анализ. -2010. - №5. - С. 225-231
3. Елисеева И.И. Эконометрика. - Москва «Финансы и статистика»: 2003. - 346 с.
4. Иванченко И., Наливайский В. Исследование степени эффективности российского фондового рынка / РЦБ Архив. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.old.rcb.ru/Archive/articles.asp?id=4330
5. Индекс РТС и индекс ММВБ. Справка / РИА Новости. - 07.05.2010. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.rian.ru/spravka/20100507/231593218.html
6. Индекс РТС обновил минимум с конца мая 2010 года / Forbes.ru. - 04.10.2011. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.forbes.ru/news/74761-indeks-rts-obnovil-minimum-s-kontsa-maya-2010-goda
7. Прытин Д. 13 самых неудачных дней на рынке акций в 2009 году / РБК.Рейтинг. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://rating.rbc.ru/article.shtml?2010/01/14/32675247
8. Список акций для расчета Индекса РТС (действует с 16 декабря 2011 года по 15 марта 2012 года) / РТС Биржа. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.rts.ru/s288
9. Трегуб А.Я., Посохов Ю.Е. Российский фондовый рынок: первое полугодие 2011 / Аналитический обзор НАУФОР. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://naufor.ru/download/pdf/factbook/ru/RFR2011_1.pdf
10. Index Definitions / MSCI. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.msci.com/products/indices/tools/index.html#EM
11. Crude Oil (petroleum); West Texas Intermediate Daily Price / Index Mundi. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.indexmundi.com/commodities/?commodity=crude-oil-west-texas-intermediate&months=120
12. Crude Oil (petroleum); Dated Brent Daily Price / Index Mundi. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.indexmundi.com/commodities/?commodity=crude-oil-brent&months=120

---

[1] Индекс РТС и индекс ММВБ. Справка / РИА Новости. - 07.05.2010. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.rian.ru/spravka/20100507/231593218.html

[2] Трегуб А.Я., Посохов Ю.Е. Российский фондовый рынок: первое полугодие 2011 / Аналитический обзор НАУФОР. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://naufor.ru/download/pdf/factbook/ru/RFR2011_1.pdf

[3] Список акций для расчета Индекса РТС (действует с 16 декабря 2011 года по 15 марта 2012 года) / РТС Биржа. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.rts.ru/s288

[4] Д. Прытин13 самых неудачных дней на рынке акций в 2009 году / РБК.Рейтинг. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://rating.rbc.ru/article.shtml?2010/01/14/32675247

[5] Анализ фондового рынка России за май 2010 года / Департамент по финансовому и фондовому рынку Краснодарского края. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.finmarket.kubangov.ru/content/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7-%D1%84%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%80%D1%8B%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8-%D0%B7%D0%B0-%D0%BC%D0%B0%D0%B9-2010-%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0

[6] Индекс РТС обновил минимум с конца мая 2010 года / Forbes.ru. - 04.10.2011. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.forbes.ru/news/74761-indeks-rts-obnovil-minimum-s-kontsa-maya-2010-goda

[7] Index Definitions / MSCI. - Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.msci.com/products/indices/tools/index.html#EM

Код для цитирования: Скопировать