4.1.4. Образец в форме диска

Рассмотрим образец из композиционного феррит-пьезоэлектрического материала в форме тонкого диска радиуса R и толщиной d , на нижней и верхней поверхности которого нанесены тонкие металлические контакты (рис.4.9). Пусть образец поляризован по нормали к плоскостям контактов (ось Z). Постоянное (подмагничивающее) и переменное магнитные поля могут быть направлены как по нормали к плоскости контактов, так и в плоскости контактов. В соответствии с этим будем различать продольную и поперечную ориентацию полей. Вследствие магнитострикции переменное магнитное поле вызывает колебания, которые распространяются как по толщине (толщинные колебания) так и по радиусу (радиальные колебания) образца. В дальнейшем ограничимся рассмотрением наиболее низкочастотных радиальных колебаний. Это связано с тем, что экспериментально радиальные колебания легче всего наблюдаются. Толщинные колебания более высокочастотные и их сложнеевыделить на фоне высших гармоник радиальных колебаний.

Рис. 4.9. Геометрия образца. Стрелка указывает направление поляризации.

Будем считать дисктонким, т.е.d<<R. Так как поверхности диска свободные, то, следовательно, нормальные составляющие тензора механических напряжений на них равны нулю. Для тонкого диска можно считать, что компонента тензора напряжений T₃ равна нулю не только на поверхности, но и во всем объеме. Кроме того, верхняя и нижняя поверхность диска представляют собой эквипотенциальные поверхности, поэтому отличной от нуля будет только z -проекция вектора напряженности электрического поля. С учетом этого уравнения (4.2)-(4.3) для тензора деформаций S_i и z- проекциивектора электрической индукции D_z при продольной ориентации полей примут вид

S₁=s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + d₃₁E₃ + q₃₁H₃, (4.43)

S₂=s₁₂T₁ + s₂₂T₂ + d₃₁E₃ + q₃₁H₃, (4.44)

D₃=e₃₃E₃ + d₃₁(T₁ +T₂) + m₃₃H₃. (4.45)

При поперечной ориентации электрического и магнитного полей систему координат выберем таким образом, чтобы осьX совпадала с направлением магнитного поля. В этом случае уравнения для тензора деформаций и вектора электрической индукции запишутся в виде

S₁=s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + d₃₁E₃ + q₁₁H₁, (4.46)

S₂=s₁₂T₁ + s₂₂T₂ + d₃₁E₃ + q₁₂H₁, (4.47)

D₃=e₃₃E₃ + d₃₁(T₁ +T₂) + m₃₁H₁ .(4.48)

Для дальнейших расчетов удобно воспользоваться симметрией задачи и перейти к цилиндрической системе координат z,rиq . При переходе к новой системе координат компоненты тензора деформаций и напряжений преобразуются известным образом [137]

S₁=S_rr cos²(q) -2S_rq sin(q)cos(q) +S_qq sin²(q), (4.49)

S₂=S_rr sin²(q) + 2S_rq sin(q)cos(q) +S_qq cos² (q), (4.50)

T_rr= T₁ cos²(q) +2T₅ sin(q)cos(q) +T₂ sin²(q), (4.51)

T_qq= T₁ sin²(q)-2T₅ sin(q)cos(q) +T₂ cos²(q). (4.52)

Компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат определяются через векторсмещения средыu следующим образом

S_rr= u_r/ r, (4.53)

S_qq=(1/r) u_q /q +u_r/r, (4.54)

S_rq = u_q/ r- u_q/r +(1/r) u_r /q . (4.55)

Далее, подставляя, выражения для тензора напряжений в уравнение движения среды, получим уравнение для радиальных смещений, решение которого позволит определить величину деформаций. Однако, вид уравнения для смещений среды зависит от ориентаций электрического и магнитного полей, поэтому далее продольный и поперечный случаи рассматриваются отдельно.

Продольная ориентация электрического и магнитного полей

При продольной ориентации полей вектор напряженности постоянного и переменного магнитного полей совпадает с направлением поляризации. C учетом осевой симметрии задачи в цилиндрической системе координат отличными от нуля компонентами тензора напряжений идеформаций будут T_rr , T_θθ,S_rrи S_θθ . Остальные компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю. Кроме того, из осевой симметрии следует, что компонента смещения u_θ равна нулю. С учетом этого уравнения (4.43) – (4.44) примут вид [78]

, (4.56)

. (4.57)

В цилиндрической системе координат уравнение движения (4.1)для радиальных колебаний диска имеет вид

, (4.58)

здесь r - плотность композита, w - круговая частота.

Выразим из (4.56)и (4.57) компоненты напряжений через компоненты деформаций

(4.59)

(4.60)

где n = - s₁₂ /s₁₁- коэффициент Пуассона.

Для того чтобы получить уравнение для радиальных смещений, подставим выражения (4.59) и (4.60) в (4.58). После преобразований уравнение (4.58) сводится к уравнению Бесселя

(4.61)

где . Общее решение уравнения (4.61) представляется в виделинейной комбинации функций Бесселя первого и второго рода

. (4.62)

Постоянные интегрирования c1 и c2 определяются из граничных условий: При смещение , а при напряжение . Это дает

, . (4.63)

Здесь введена безразмерная переменная k=kR, значения которой зависят от частоты, радиуса диска и скорости распространения упругих колебаний.

Подставляя значения постоянных интегрирования c1 и c2 в (4.62) и, выражая компоненты напряжений через деформации,получим

, (4.64)

. (4.65)

Напряженность электрического поля найдем из уравнения для нормальной составляющей вектора электрической индукции

+ m₃₃H₃. (4.66)

Воспользуемся условием разомкнутой цепи, реализуемой на эксперименте, которое в данном случае запишется в виде

. (4.67)

Подставляя (4.66) в (4.67) с учетом (4.64) и (4.65), для индуцируемой напряженности электрического поля после преобразований получим выражение

, (4.68)

где

, (4.69)

. (4.70)

Здесь - коэффициент электромеханической связи для радиальных колебаний.

 

Используя определение магнитоэлектрического коэффициента как , для продольной ориентации электрического и магнитного полей получим

 

. (4.71)

Выражение (4.71) для магнитоэлектрического коэффициента имеет резонансную частотную зависимость. Корни уравнения (4.69) определяют частоты резонанса, а корни уравнения (4.70) - частоты антирезонанса для пьезоэлектрического эффекта. Таким образом, при разомкнутой цепи, на частоте антирезонанса наблюдается резкое увеличение магнитоэлектрического коэффициента. Резонансная частота, как и при пьезорезонансе, определяетсяв первую очередь радиусом диска R и податливостью s₁₁. Величина магнитоэлектрического коэффициента при продольной ориентации полей прямо пропорциональна произведению пьезоэлектрического d₃₁ и пьезомагнитного q₃₁ модулей и обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости материала e₃₃, а также податливости s₁₁ .

Поперечная ориентация электрического и магнитного полей

При поперечной ориентации полей векторы напряженности постоянного и переменного магнитного полей лежат в плоскости диска перпендикулярно вектору напряженности электрического поля (ось z). При переходе в цилиндрическую систему координат с помощью преобразований (4.49)-(4.52) уравнения (4.46) –(4.47) запишутся в виде [138]

, (4.72)

. (4.73)

В этом случае уравнения для тензора деформаций усложняются, и появляется не только радиальная, но и угловая зависимость, обусловленная тем, что магнитное поле нарушает осевую симметрию задачи. Выразим из (4.72) и (4.73) компоненты напряжений T_rr и T_qq. После несложных преобразований получим

(4.74)

(4.75)

Подставляя выражения (4.74) и (4.75) в уравнение движения (4.58), получим уравнение для радиальных колебаний при поперечной ориентации полей

, (4.76)

где введено обозначение

D(q)=(q₁₁-q₁₂)(1-n)(cos²(q)-sin²(q))H₁.

Решение уравнения (4.76) согласно [138,139] имеет вид

u_r=c₁J₁(kr)+c₂Y₁(kr)+D(q)/(k²r), (4.77)

где J₁(kr) и Y₁(kr) функции Бесселя первого и второго рода соответственно, . Постоянные интегрирования c₁ и c₂ определяются из тех же граничных условий, что и при продольном случае. Для удовлетворения граничного условия приr=0 воспользуемся свойством функции Бесселя второго рода при малых значениях аргумента [140]

Y₁(z)» -2/(p z). (4.78)

 

Используя это свойство функции Бесселя, для постоянной интегрирования c₂ получим выражение c₂= p D(q)/(2k). (4.79)

Из равенства нулю радиальной составляющей тензора механических напряжений на боковой поверхности дискадля постоянной интегрирования c₁ получим выражение

c₁=R{(1+n)d₃₁E₃+ (q₁₁(cos²(q)+nsin²(q))+q₁₂(ncos²(q)+sin²(q)))H₁+ D(q)(1-n)(pY₁(k)/(2k)+1/k²-pY₀/2)}/D_r. (4.80)

Как следует из (4.77) с учетом (4.79) и (4.80), амплитуда радиальных колебаний при поперечной ориентации полей зависит не только от радиальной переменной r, но и от угловойq . Это связано с тем, что возбуждение упругих колебаний вдоль направления магнитного поля (ось X, q=0) определяется коэффициентом q₁₁, а перпендикулярно этому направлению (ось Y, q=p./2) - коэффициентом q₁₂. Поскольку эти коэффициенты имеют различное значение, то и амплитуда радиальных колебаний зависит от угловой переменной. Частотные свойства радиальных колебаний определяются свойствами среды и не зависят от способа возбуждения, поэтому выражения для параметра k для продольной и поперечной ориентациях полей совпадают.

Используя решение (4.77),выразим из (4.74) и (4.75) с учетом (4.53) и (4.54) компоненты тензора напряжений. В результате вычислений получим

(4.81)

(4.82)

Напряженность электрического поля, как и при продольном случае, найдем из выражения для нормальной составляющей вектора электрической индукции (4.66) с учетом условия разомкнутой цепи (4.67). Подставляя (4.81) и (4.82) в (4.66) , а затем получившееся выражение в (4.67) и, выполняя интегрирование, после несложных преобразований получим

. (4.83)

При поперечной ориентации полей магнитоэлектрический коэффициент определяется какa _Е,T=E₃ / H₁ . Используя это определение и выражение (4.83) имеем

. (4.84)

Как следует из (4.84),при поперечной ориентации электрического и магнитного полей, так же, как и при продольной, величина магнитоэлектрического коэффициента пропорциональна произведению пьезоэлектрического и пьезомагнитного модулей.Однако при продольной ориентации величина коэффициента пропорциональна удвоенному значению произведения d₃₁ q₃₁, то при поперечной ориентации она пропорциональна произведению d₃₁ (q₁₁+q₁₂) . Так как значения коэффициентов q₁₁ иq₁₂ вследствие отсутствия размагничиванияпочти на порядок больше значения q₃₁, то следует ожидать, что при поперечной ориентации полей величина эффекта будет в несколько раз больше, чем при продольной ориентации. Частотная зависимость коэффициента a_Е,T полностью совпадает с частотной зависимостью коэффициента a_Е,L . Такое совпадение объясняется тем, что как при продольной, так и при поперечной ориентации электрического и магнитного полей возбуждались одни и те же радиальные моды колебаний, при этом отличался только способ возбуждения.

Экспериментальные исследования эффекта проводились для образцов многослойного композиционного материала, состоящего из 11 слоев никелевой феррошпинели по 13 микрон каждый и 10 слоев пьезокерамики ЦТС по 26 микрон каждый. Образцы имели форму диска радиусомR=9,5 мм. Перед проведением измерений образцы поляризовались в электрическом поле напряженностью 4 кВ/мм в течение трех часов при температуре 80°С. Вначале исследовалась полевая зависимость низкочастотного МЭ эффекта. Для исследования МЭ эффекта использовался метод, основанный на измерении переменного напряжения, возникающего на образце при наложении на него переменного и медленно меняющегося магнитных полей. Вначале исследовалась полевая зависимость низкочастотного МЭ сигнала. При постоянном значении напряженности переменного магнитного поля 1 Э измерялась зависимость МЭ коэффициента от напряженности подмагничивающего поля. Затем при напряженности поля подмагничивания, соответствующего максимуму эффекта, исследовалась частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента в области электромеханического резонанса. Измерения проводились для продольной и поперечной ориентаций электрического и магнитного полей. При измерениях условие разомкнутой цепи выполнялось достаточно хорошо. Полное входное сопротивление (активное и емкостное) предусилителяи подводящих проводов более чем на порядок превышало полное сопротивление образца.

Результаты эксперимента и теоретические зависимости [138] , рассчитанные по формулам (4.71) и (4.84) приведены на рис. 4.10 и рис. 4.11 соответственно. При расчетах использовались следующие значения параметров: для никелевой шпинели – ^ms₁₁=6.5×10^-12 м²/Н, ^ms₁₂=-2.4 10^-12 м²/Н, ^mq₃₁ =70×10^-12 м/A, ^mq₁₁= -430×10 ^-12м/A, ^mq₁₂=125×10 ^-12м/A, ^mε₃₃/ ε₀=10; для ЦТС -^ps₁₁=15.3×10^-12 м²/Н, - ^ps₁₂=-5×10^-12 м²/Н, ^pd₃₁ = -175 10^-12 м/В, ^pε₃₃/ ε₀ =1750. Рассчитанные по методике [11] эффективные параметры композита были равны следующим значениям: s₁₁=10×10^-12 м²/Н, s₁₂=-3.9×10^-12 м²/Н, q₃₁ =60×10^-12 м/A, q₁₁= -320×10 ^-12м/A, q₁₂=84×10 ^-12м/A, ε₃₃/ ε₀=28; параметр затухания определялсяиз ширины линии электромеханического резонанса.

Рис. 4.10. Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента при продольной ориентации полей. Сплошная линия - теория, точки - эксперимент. Коэффициент затухания χ=15000 рад/с.

Как следует из графиков, наблюдается хорошее соответствие между теорией и экспериментальными результатами. На частоте около 350 кГц наблюдается резонансное увеличение величины эффекта. Максимальное значение магнитоэлектрического коэффициента наблюдается на диске при поперечной ориентации полей и составляет величину почти 15V/cmOe, в то время, как его значение на частоте 100 Гц составляет0.16 V/cmOe. Коэффициент затухания χ определялся из ширины резонансной линии. При поперечной ориентации электрического и магнитного полей коэффициент затухания меньше, чем при продольной ориентации. Это связано с тем, что при ориентации

Рис. 4.11. Частотная зависимость магнитоэлектрического коэффициента при поперечной ориентации полей. Сплошная линия-теория, точки - эксперимент. Коэффициент затухания χ=7500 рад/с.

магнитного поля в плоскости образца происходит возбуждение меньших по величине токов в металлических контактах, приводящих к потерям.

При поперечной ориентации магнитного и электрического полей величина эффекта на порядок больше, чем при продольной ориентации. Это, как уже отмечалось, обусловлено тем, что при продольной ориентации полей на величину эффекта значительное влияние оказывают размагничивающие поля, приводящие к уменьшению эффективного пьезомагнитного модуля.

Количественное отличие значений магнитоэлектрического коэффициента имеется как в области низких частот, так и в области электромеханического резонанса. Это связано с тем, что значения эффективных параметров рассчитывались для композиционных материалов, имеющих идеальную связность и однородный по образцу состав. Между тем, при изготовлении многослойных композиционных материалов всегда имеется несовершенство слоев, в результате чего процентный состав композита неоднороден по площади образца. Между тем значения эффективных параметров имеют сильную концентрационную зависимость.

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации