2.2.1 Одноосные кристаллы.

В этом случае в выражении (2.48) для плотности свободной энергии следует сохранить лишь члены, содержащие МЭ-константы и . Число независимых компонент тензора можно уменьшить, учитывая, что энергия не зависитот длины вектора намагниченности. Направим ось 3 по оси симметрии ферримагнетика. Полагаясимметриюточечнойгруппыферримагнетика C₃, выражение (2.48) для W_МЭ можно записать в виде

W_МЭ= E₁[B₁₁(M₁² - M₂²) - 2B₂₂M₁M₂ + 2B₁₄M₂M₃ + + 2B₁₅M₁M₃] + E₁[B₂₂(M₂² - M₁²) - 2B₁₁M₁M₂ + 2B₁₅M₂M₃ - 2B₁₄M₁M₃] + E₃(B₃₃ - B₃₁)M₃² + E₁²[(b₁₁ - b₁₂)M₁² + + (b₁₃ - b₁₂)M₃² + 2b₁₄M₂M₃ - 2b₂₅M₁M₃ + 2b₁₆M₁M₂] + + E₂²[(b₁₁ - b₁₂)M₂² +(b₁₃ - b₁₂)M₃² - 2b₁₄M₂M₃ + 2b₂₅M₁M₃ - - 2b₁₆M₁M₂] + E₃²(b₃₃ - b₃₁)M₃² + 2E₂E₃(2b₄₁M₁² + b₄₁M₃² + + 2b₄₄M₂M₃+ 2B₄₅M₁M₃ + 2B₅₂M₁M₂) + 2E₁E₃(-2b₅₂M₁² - b₅₂M₃² - 2b₄₅M₂M₃+ 2b₄₄M₁M₃ + 2B₄₁M₁M₂) + + 2E₁E₂(-2b₁₆M₁² - b₁₆M₃² + 2b₂₅M₂M₃+ 2b₁₄M₁M₃ + 2b₆₆M₁M₂).(2.51)

Здесь использовано двухиндексное обозначение компонента тензоров, симметричных по парам индексов:

B_ijk = B_Q

где l = 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответствует j = 1 и К = 1,j = 2 и К = 2, j = 3 и К = 3, j = 2 и К = 3, j = 1 и К = 3, j = 1 и К = 2 соответственно;

b_ijk = b_lm

где ij Û l = 1...6, kl Û m = 1...6.

Согласно методуразмагничивающихфакторов эффективное магнитное поле находим по формуле

(2.52)

H₁^E = - E₁(2B₁₁M₁ - 2B₂₂M₂ + 2B₁₅M₃) - - E₂( -2B₂₂M₁ - 2B₁₁M₂ - 2B₁₄M₃) - - E₁[2(b₁₁ - b₁₂)M₁ - b₂₅M₃ + 2b₁₆M₂] - - E₂²(2b₂₅M₃ - 2b₁₆M₂) - - 2E₁E₂(- 4b₁₆M₁ - 2b₁₉M₃ +2b₆₆M₂) - - 2E₂E₃(4b₄₁M₁ + 2b₄₅M₃ +2b₅₂M₂) - - 2E₁E₃(4b₅₂M₁ + 2b₄₄M₃ +2b₄₁M₂) ;

H₂^E = - E₁(-2B₁₁M₂ - 2b₂₂M₁ + 2b₁₄M₃) - - E₂( 2b₂₂M₂ - 2B₁₁M₁ + 2B₁₅M₃) - - E₁²(2b₁₄M₃ + 2b₁₆M₁) - - E₂²[2(b₁₁ - b₁₂)M₂ + 2b₁₄M₃ - 2b₁₆M₁] - - 2E₁E₂(2b₂₅M₃ +2b₆₆M₁) - - 2E₂E₃(2b₄₄M₃ +2b₆₂M₁) - - 2E₁E₃(-2b₄₅M₃ +2b₄₁M₁) ;

Чтобы воспользоваться формулой (2.49) для нахождения резонансной частоты, необходимо найти тензор размагничивающих факторов, характеризующий МЭ-взаимодействие, из соотношения

(2.53)

При этомсоотношение(2.53) необходимо записать в системе координат (1, 2, 3), в которой ось 3 совпадает по направлению с M₀.

Компоненты H_K’^E связаны с компонентами H_K^E выражением

H_K’^E = b_K’K H_K^E (2.54)

где матрица направляющих косинусов осей (1', 2', 3') относительно осей (1, 2, 3) может быть выбрана равной (рис. 2.4)

(2.55)

Рис 2.4. Системы координат в одноосном кристалле.

Очевидно, что

M_K = b_K’KM_K’ (2.56)

Подставляя (2.52) в (2.54) с учетом (2.55) и (2.56), можно получить, опуская штрихи у индексов, следующие выражения:

N₁₁^E - N₃₃^E = 4(B₁₁E₁ - B₂₂E₂) + 2(b₁₁ - b₁₂)(E₁² - E₂²) + + 8(b₄₁E₂E₃ - b₁₆E₁E₂ - b₅₂E₁E₃) + 2g₂cos²Q + 2g₃sin2Q ; N₂₂^E - N₃₃^E = 2g₂cos2Q + 4g₃sin2Q ; N₁₂^E = [-2(B₁₁E₂ + B₂₂E₁) + 2b₁₆(E₁² - E₂²) + + 4(b₄₁E₁E₃ + b₅₂E₂E₃ + b₆₆E₁E₂)]cosQ + + [2(B₁₄E₂ - B₁₅E₁) + b₂₅(E₁² - E₂²) - 4(b₁₄E₁E₂ + + b₄₄E₁E₃ + b₄₅E₂E₃)]sinQ ; g₂ =-B₁₁E₁ + B₂₂E₂ + (B₃₁ - B₃₃)E₃ +(b₁₂ - b₁₃)E₁² + + (b₁₁ - b₁₃)E₂²+ (b₃₁ - b₃₃)E₃²+ 2(b₁₆E₁E₂ - b₄₁E₂E₃ + + b₅₂E₁E₃) ; g₃ =-B₁₄E₁ - b₁₅E₂ + b₁₄(E₂² - E₁²) + 2(b₂₅E₁E₂ + b₄₄E₂E₃ - - b₄₅E₁E₃) ; B66 = (b₁₁ - b₁₂) / 2. (2.57)

Поскольку электрическоеполе связано с системой координат, в которой ось 3 совпадает с осью симметрии кристалла, в формулах (2.57)фигурируют проекции электрического поля в этой системе координат. Таким образом, индексы в правых частяхформул (2.57) соответствуют кристаллографической системе координат.

Рассмотрим случай, когда электрическое поле направлено вдоль оси симметрии кристалла, т. е.

Е₁ = Е₂ = 0, Е₃ = E.

При этом выражения (2.57) упрощаются

N₁₁^E - N₃₃^E = 2[(B₃₁ - B₃₃)E + (b₃₁ - b₃₃)E²]cos²Q ; N₂₂^E - N₃₃^E = 2[(B₃₁ - B₃₃)E + (b₃₁ - b₃₃)E²]cos2Q ; (2.58)

N₁₂^E = 0 ;

С учетом (2.58) формула (2.49) для резонансной частоты образца в виде диска, расположенной в базовой плоскости с учетом константы кристаллографической анизотропии К принимает вид

(w/g)² = [H₃ + 2 / M₀(K₁ - 2pM₀² + G)cos²Q][H₃ + + 2 / M₀(K - 2pM₀² + G)]cos2Q ; (2.59)

где

G = [(B₃₁ - B₃₃)E + (b₃₁ - b₃₃)E²] M₀² .

Из формулы (2.59) видно, что величину можно рассматривать как добавку к константе кристаллографической анизотропии K₁,обусловленную МЭ-взаимодействием.

Для сдвига резонансного магнитного поля в результате действия внешнего электрического поля из (2.50) получаем

DH_E = -H_MЭ[H₃(cos²Q + cos2Q) + 4(H_a - 2pM₀)cos²Qcos2Q)] / [H₃ + (H_a - 2pM₀)(cos²Q + cos2Q)] (2.60)

H_a = K₁ / M₀.

где H_MЭ = G / M₀ - поле, связанное с МЭ-взаимодействием.

В случае Q = 0 из (2.60) получаем

DH_E =-2M₀[(B₃₁ - B₃₃)E + (b₃₁ - b₃₃)E²]; (2.61)

при Q = p / 2 получаем

DH_E =H₃M₀[(B₃₁ - B₃₃)E + (b₃₁ - b₃₃)E²] / [H₃ -H_a + 2pM₀]; (2.62)

Из формул (2.59)-(2.62) можнополучитьрасчетныесоотношениядля сферического образца, отбрасывая член 2pM₀² в формуле (2.59) и 2pM₀ в формулах (2.60)-(2.62)

(w/g)² = [H₃ + 2 / M₀(K₁ + G)cos²Q][H₃ + + 2 / M₀(K₁ + G)]cos2Q ;

DH_E = -H_MЭ[H₃d+ 4H_acos²Qcos2Q)] / / (H₃ + H_ad) ;

d = cos²Q + cos2Q .

На рис. 2.5представленатеоретическаязависимость относительного сдвига резонансного поля DH_E / H_MЭ от угла jмежду магнитным полем Н и осью симметрии кристалла. Расчет проведен для легкоплоскостного кристалла Zn₂Y, точечная группа симметрии которого D_3d, резонансная частота принята равной 9,3 ГГц. В этом случае МЭ-константы B_ijk = 0.

Рис. 2.5. Зависимость относительногосдвигарезонансного магнитного поля от угла между направлением магнитного поля и осью симметрии кристалла || C₃ .

Выделяя линейные и квадратичные по электрическому полю составляющие DH_E, из (2.62), (2.64) можно оценить МЭ-константы

B₃₁ - B₃₃ , b₃₁ - b₃₃. Аналогичную оценку можно выполнить для всех МЭ-констант, входящихввыражение (2.61) посредством выбора соответствующих ориентаций Е и Н.

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации