H₂ = -H₂₄ tgj = - H₂₉ = 2sinj (h₁₄ cosQ - h₁₁ sinQ);

H₃ = H₁₃ tgj = - H₂₅ tgj = 2sinj (h₁₄ sinQ + h₁₁ cosQ);

H₄ = H₁₉ = -H_Y0^L = -2M₀ sinj B₃₃₃ E₃;

H₅ = -H₁₇ ctgj = -2 cosj (h₁₀ cosQ - h₁₃ sinQ);

H₆ = -H₈ ctgj = -2 cosj (h₁₀ sinQ + h₁₃ cosQ);

H₇ = H₂₆ = H_X0^M + 2M₀ cosj B₃₃₃E₃;

H₈ = -H₂₀ ctgj = -2 cosj (h₉ cosQ - h₈ sinQ);

H₉ = -H₂₁ ctgj = -2 cosj (h₉ sinQ + h₈ cosQ);

H₁₀ = H_D sinj - H_A cosj - H_X0^L + 2M₀ cosj [2C₁₃(E₁² + E₂²) + C₃₃E₃²];

H₁₁ = H₀ + H_Y0^M + 2cosj [ h₅ cos²Q - h₆ sinQ + 0,5(h₄ - h₁₂) sin2Q];

H₁₂ = - H_X0^M + 2cosj [ h₅ sin²Q + h₁₂ cos²Q + 0,5(h₅ + h₆) sin2Q];

H₁₄ = H_Y0^L + 2cosj [ h₁ cos2Q + 0,5(h₃ - h₂) sin2Q] -

H₁₅ = -H_X0^L + 2cosj [ h₁ sin2Q - h₂ cos²Q + h₃ sin²Q] -

H₁₆ = 2 cosj (h₈ cosQ + h₉ sinQ) - 2sinj (h₁₀ cosQ - h₁₃ sinQ);

H₂₂ = H_A sinQ + H_D(1 - cosj ) - H_Y0^M -

H₂₃ = 2H_E cosj - H_A cosj + H_D sinj + H_X0^L ;

H₂₈ = - 2H_E cosj + 2H_D sin2j + H_X0^L -

H₂₇ = H_Y0^L - 2sinj [ h₄ cos²Q - h₁₂ sin²Q - 0,5(h₅ + h₆) sin2Q];

H₃₀ = H_D (2cosj - 1) + H_Y0^M +

H₃₁ = - H_X0^M +2cosj [h₄ sin²Q + h₇ cos²Q + 0,5(h₅ + h₆) sin2Q]-

H₃₂ = 2cosj [h₁₀ sinQ + h₁₃ cos²Q] - 2sinj [ h₉ cosQ - h₈ sinQ];

h₁ = 2M₀ [ A₁₁E₂ - 2C₄₁E₁E₃ - (C₁₁ - C₁₂)E₁E₂];

h₂ = 2M₀ [ A₁₁E₁ - C₁₁E₂² - C₃₁E₃² + 2C₄₁E₂E₃];

h₃ = - 2M₀ [ A₁₁E₁ + C₁₁E₁² + C₁₂E₂² + C₃₁E₃² + 2C₄₁E₂E₃];

h₄ = M₀ [B₂₂₂E₂ - B₃₁₁E₃ - 2D₅₁₁E₁E₃ - (D₂₁₂ - D₁₁₂)E₁E₂];

h₅ = M₀ [B₂₂₂E₁ + D₁₁₂E₂² + D₂₁₂E₁² + D₃₁₂² + 2D₅₁₁E₁E₃];

h₆ = M₀ [B₂₂₂E₁ - D₁₁₂E₁² - D₂₁₂E₂² - D₃₁₂E₃² + 2D₅₁₁E₂E₃];

h₇ = M₀ [B₂₂₂E₂ - B₃₁₁E₃ + 2D₅₁₁E₁E₃ + (D₂₁₂ - D₁₁₂)E₁E₂];

h₈ = - 2M₀ [ A₁₄E₁ + C₁₄(E₁² - E₂²) + 2C₄₄E₂E₃];

h₉ = 2M₀ [ A₁₄E₂ - 2(C₁₄E₂ + C₄₄E₃)E₁];

h₁₀ = M₀ [B₁₃₁E₁ + D₁₃₁(E₁² - E₂²)+ 2D₄₃₁E₂E₃];

h₁₁ = M₀ [B₂₂₃E₂ - D₁₁₃E₁E₂ +2D₅₂₃E₁E₃];

h₁₂ = - M₀ [B₂₂₂E₂ + B₃₁₁E₃ - 2D₅₁₁E₁E₃+ (D₂₁₂ - D₁₁₂)E₁E₂];

h₁₃ = - M₀ [B₁₃₁E₂ - 2D₁₃₁E₁E₂ -2D₄₃₁E₁E₃];

h₁₄ = - M₀ [B₂₂₃E₁ + D₁₁₃(E₁² - E₂²)- 2D₅₂₃E₂E₃].

b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆ = 0,

b₁ = iw/g;

b₂ = iw/g + H₆;

b₃ = iw/g + H₁₃ + (g/iw) H₁H₁₁;

В (2.9) сохранены лишь члены, линейные по величине H_K, которые равны нулю в отсутствии электрического поля.

Решение уравнения дает два вещественных корня, что соответствует низкочастотной и высокочастотной АФМР.

Низкочастотная ветвь АФМР

Для низкочастотной ветви АФМР из (2.9) получим

(w₁/g)² + H₁H₁₁ + H₁₅H₂₃ = 0(2.10)

Запишем выражение (2.10) в линейном по МЭ-константам приближении:

(w₁/g)² = H₀(H₀ + H_D + H_MЭ1 + H_MЭ2) + (H_D^MЭ)² (2.11)

где (H_D^MЭ)²= H_D H_MЭ2 + H_EH_MЭ3 - энергетическая МЭ-щель, эффективные МЭ-поля H_MЭ1, H_MЭ2, H_MЭ3 равны

H_MЭ1 = 2M₀ [B₂₂₂E₁ - D₁₁₂ - D₂₁₂E₂² - D₃₁₂E₂³]; (2.12)

H_MЭ2 = 4M₀ [2B₂₂₂E₁ + (D₂₁₂ - D₁₁₂ )(E₁² - E₂² ) + 4D₅₁₁E₂E₃];

H_MЭ3 =- 8M₀ [2A₁₁E₁ + (C₃₁ - C₁₂ )(E₁² - E₂² ) + 4D₄₁E₂E₃]. (2.13)

Как следует из выражения (2.29), поля H_MЭ2 и H_MЭ3 вносят вклад в энергетическую МЭ-щель.Следует отметить, что в случае сравнимых по величине МЭ-констант доминирующимявляется вклад поля H_MЭ3,поскольку он "усиливается" обменным полем.

Для сдвига резонансной линии под действием электрического поля получим

DH_E =- [H₀ (H_MЭ1 + H_MЭ2) + (H_D^MЭ)² ] / (H_D + 2H₀). (2.14)

Исследуем три взаимных ориентации электрического и магнитных полей:

1) |||| OY

(w₁/g)² = H₀[H₀ + H_D - 2(2D₂₁₂ - D₁₁₂ )M₀ E² ] - - 2H_D (D₂₁₂ - D₁₁₂ )M₀ E² + 4H_E(C₁₁ - C₁₂ ) M₀ E² (2.15)

DH_E = 2M₀ E² [H₀(2D₂₁₂ - D₁₁₂ ) + H_D (D₂₁₂ - D₁₁₂ ) - - 2H_E(C₁₁ - C₁₂ )] / +(H_D + 2H₀ ) (2.16)

2) || ||OX, || OY

(w₁/g)² = H₀[H₀ + H_D + 6M₀ B₂₂₂E + 2 M₀(D₂₁₂ - D₁₁₂ )E² ] + + 2H_DM₀[ 2B₂₂₂E +( D₂₁₂ - D₁₁₂ )E² ] - 4H_EM₀[2A₁₁E + + (C₁₁ - C₁₂ ) E² ]; (2.17)

DH_E = - 2M₀ { H₀[3B₂₂₂E +( D₂₁₂ - D₁₁₂ )E² ] + H_D[2B₂₂₂E +( D₂₁₂ - D₁₁₂ )E² ] - 2H_E [2A₁₁E +(C₁₁ - C₁₂ )E²]} (2.18)

3). ||OZ (C₃), || OY

(w₁/g)² = H₀(H₀ + H_D - 2D₃₁₂ M₀E² ); (2.19)

DH_E = 2D₃₁₂H₀M₀E / (H_D + 2H₀ ) (2.20)

Если учесть, что М мало по сравнению с L и пренебречь в выражении (2.3) членами с константами , то формулы (2.16), (2.18) и (2.20) принимают более простой вид

1) ||||OY

DH_E = - 4H_EM₀(C₁₁ - C₁₂ )E² / (H_D + 2H₀ ) (2.21)

2) ||||OY

2) || OZ, || OY

Высокочастотная ветвь АФМР

Для высококачественной ветви АФМР из (2.9) получается, с учетом только МЭ-констант А и С

(w₁/g)² = H_D( H₀ + H_D )+ 2 H_E ( -H_A+ H_МЭ4 + H_МЭ5 ) – - H_AH_МЭ4, (2.24)

где H_МЭ4= - 4M₀ ( A₁₁E₁ + C₁₁E₁² + C₁₂E₂² + C₃₁E₃² + 2C₄₁E₂E₃];

H_МЭ5 = 4M₀ [C₁₃ (E₁² + E₂² ) + C₃₃E₃²].

Сдвиг резонансной линии при приложении электрического поля равен

DH_E = [H_AH_МЭ4 - 2 H_E (H_МЭ4 - H_МЭ5 )] / H_D (2.25)

По аналогии с низкочастотной ветвью рассмотрим три частотных случая:

1) || || OY

DH_E = - 4 [ H_AC₁₂+ 2H_E(C₁₁ - C₁₂ ) ] M₀E² / H_D (2.26)

2) || OX, || OY

DH_E =- 4M₀ [ H_AC₃₁- 2H_E(C₃₁ - C₃₃ ) ] E² / H_D (2.27)

2) || OZ, || OY

DH_E =- 4M₀ [ H_AC₃₁- 2H_E(C₃₁ - C₃₃ ) ] E² / H_D (2.28)

Структура 3z⁺2x⁺

Для данной структуры выражение (2.1) принимает вид

W_МЭ = A₁₁ [ E₁ (L₁² + L₂² ) - 2E₂L₁L₂] + 2A₁₄ [E₁L₂L₃ - E₂L₁L₃] + + B₁₁₁ [ E₁(L₁M₁ - L₂M₂) - E₂(L₁M₂ + L₂M₁)] + + B₁₂₃ (E₁L₂ - E₂L₁)M₃ + B₂₃₁(E₂M₁ - E₁M₂) L₃ + + C₁₂ ( E₁²L₂² + E₂²L₁² ) + C₁₃ ( E₁²+ E₂²) L₃² + + C₃₁ ( L₁²+ L₂²) E₃² + C₃₃ E₃² L₃² + + 2C₁₄ [ (E₁² - E₂² )L₂ + 2E₁E₂L₁] L₃ + + 2C₄₁ [E₂(L₁² - L₂² ) + 2E₁L₁L₂] E₃+4C₄₄ [E₃L₃ + E₁L₁]E₃L₃ + + 2(C₁₁ - C₁₂ ) E₁E₂L₁L₂ + D₁₁₁ (E₁²L₁M₁ + E₂²L₂M₂) + + D₁₂₂ (E₁²L₂M₂ + E₂²L₁M₁) + D₁₃₃( E₁²+ E₂²) L₃M₃ + (2.29)

+ D₃₁₁E₃²(L₁M₁ + L₂M₂) + D₃₃₃E₃²M₃+ + D₁₂₃[(E₁² - E₂² ) M₃ L₂ + 2E₁E₂L₁M₃] + + 2D₄₁₁[E₂E₃(L₁M₁ - L₂M₂) + E₁E₃(L₁M₂ + L₂M₁)] + + 2D₄₂₃(E₂L₁ + E₁L₁)E₃M₃ + D₁₃₂ [(E₁² - E₂² )M₂ + 2E₁E₂M₁] L₃ + + 2D₅₃₁(E₁M₁ + E₂M₂)E₃M₃ + (D₁₁₁ - D₁₁₂)E₁E₂(L₁M₂ + L₂M₁).

Как следует из сравнения(2.3)и (2.29) переход к структуре 3z⁺2x⁺ приводит к изменению членов с линейными МЭ-константами B_ijk и D_ijk. При этом остальные члены остаются без изменений.

Эффективные поля определяются в этом случае соотношениями:

H₁^M = - B₁₁₁ (E₁L₁ - E₂L₂) - B₂₃₁E₂L₃ + B₃₁₂E₃L₂ - D₁₁₁E₁²L₁ - - D₁₂₂E₂²L₁ - D₃₁₁E₃²L₁ - 2D₄₁₁(E₂E₃L₁ + E₁E₃L₂) - - 2D₁₃₂E₁E₂E₃ - 2D₅₃₁E₁E₃L₃ - (D₁₁₁ - D₁₂₂)E₁E₂L₂ ;

H₂^M = B₁₁₁(E₁L₂ - E₂L₂) - B₂₃₁E₂L₃ + B₃₁₂E₃L₂ - D₁₁₁E₁²L₁ - - D₁₂₂E₂²L₁ - D₃₁₁E₃²L₁ - 2D₄₁₁(E₂E₃L₁ + E₁E₃L₂) - - 2D₁₃₂E₁E₂E₃ - 2D₅₃₁E₁E₃L₃ - (D₁₁₁ - D₁₂₂)E₁E₂L₂ ;

H₃^M = - B₁₂₃(E₁L₂ - E₂L₁) - D₁₃₃(E₁² + E₂²)L₃ - D₃₃₃E₃²L₃ - - D₁₂₃ [(E₁² - E₂²)L₂ + 2E₁E₂L₁] - 2D₄₂₃E₃ (E₁L₁ + E₂L₂);

H₁^L = -2A₁₁(E₁L₁ - E₂L₂) + 2A₁₄E₂L₃ - B₁₁₁(E₁M₁ - E₂M₂) + (2.30)

+ B₁₂₃E₂M₃ - B₃₁₂E₃M₂ - 2(C₁₁E₁² + C₁₂E₂² + C₃₁E₃²)L₁ - - 2(C₁₁ - C₁₂)E₁E₂L₂ - D₁₁₁E₂²M₁ - D₁₂₂E₂²M₁ - D₃₁₁E₃²M₁ - - 2D₁₂₃E₁E₃M₃- 2D₄₁₁(E₂E₃M₁ + E₁E₃M₂) - - 2D₄₂₃E₁E₃M₃- (D₁₁₁ - D₁₂₂)E₁E₂M₂;

H₂^L = 2A₁₁(E₁L₂ + E₂L₁) - 2A₁₄E₁L₃ + B₁₁₁(E₁M₂ + E₂M₁) - - B₁₂₃E₁M₃+ B₃₁₂E₃M₁ - 2(C₁₂E₁² + C₁₁E₂²)L₂ - 2C₃₁E₃²L₂ - - 2C₁₄(E₁² - E₂²)L₃ + 4C₄₁(E₂L₂ - E₁L₁)E₃ - 4C₄₄E₂E₃L₃ - - 2(C₁₁ - C₁₂)E₁E₂L₁ - D₁₁₁E₂²M₂ - D₁₂₂E₁²M₂ - D₃₁₁E₃²M₂ - - D₁₂₃(E₁² - E₂²)M₃ + 2D₄₁₁(E₂M₂ - E₁M₁)E₃ - 2D₄₂₃E₂E₃M₃ - - (D₁₁₁ - D₁₂₂)E₁E₂M₁ ; H₃^L = 2A₁₄(E₂L₁ - E₁L₂) - B₂₃₁(E₂M₁ - E₂M₁) - 2C₁₃(E₁² + E₂²)L₃ - - 2C₃₃E₃²L₃ - 2C₁₄[(E₁² - E₂²)L₂ + 2E₁E₂L₁] - - 4C₄₄(E₁L₁ + E₂L₂)E₃ - D₁₃₃[(E₁² + E₂²)M₃ - E₃²M₃] - - D₁₃₂[(E₁² - E₂²)M₂ - 2E₁E₂M₁] - 2D₅₃₁(E₁M₁ + E₂M₃)E₃.

Низкочастотная ветвь АФМР

Решение системы (2.2) с учетом (2.29)позволяетполучить выражения для резонансной частоты

(w₁/g)² = H₀(H₀ + H_D + H_MЭ1 + H_MЭ2) + (H_D^MЭ)² (2.31)

где (H_D^MЭ)²= H_D H_MЭ2 + H_EH_MЭ2 H_MЭ1 = 2M₀ [B₁₁₁E₂ - B₃₁₂E₃ - (D₁₂₂ - D₁₁₁)E₁E₂ - D₄₁₁E₁E₃] H_MЭ2 = 8M₀ [B₁₁₁E₂ - (D₁₂₂ - D₁₁₁)E₁E₂ - D₄₁₁E₁E₃];
H_MЭ3 =- 8M₀ [2A₁₁E₁ + (C₁₁ - C₁₂ )(E₁² - E₂² ) + 4C₄₁E₂E₃].

Сдвиг резонансной линии в этом случае определяется формулой (2.14).

Так же,как и для структуры 3z⁺2x^- рассмотрим три важные для эксперимента случая:

1) |||| OY

(w₁/g)² = H₀(H₀ + H_D ) + 10M₀ B₁₁E + 8[M_D B₁₁₁E + + H_E(C₁₁ - C₁₂ )E² ]; (2.32)

DH_E = - 2M₀ [(5H₀ + 4H_D) B₁₁₁E + 4H_E(C₁₁ - C₁₂ )E² ]; (2.33)

2) || OX, || OY

(w₁/g)² = H₀(H₀ + H_D ) - 8H_EM₀[2A₁₁E + (C₁₁ - C₁₂ ) E² ]; (2.34)

DH_E = 8H_EM₀ [2A₁₁E +(C₁₁ - C₁₂ )E²] / (H_D + 2H₀) (2.35)

3) || OZ, || OY

(w₁/g)² = H₀(H₀ + H_D - 2M₀B₃₁₂E); (2.36)

DH_E = 2H₀M₀B₃₁₂E / (H_D + 2H₀ ) (2.37)

Пренебрегая в (2.45) членами с МЭ-константами В и D, получим формулы для сдвига резонансной линии, совпадающие с (2.21) - (2.23).

Выражение для высокочастотной ветви спектра АФМР в структуре3z⁺2x^-совпадает с выражением (2.24) для структуры 3z⁺2x^-, если учитывать в (2.29) члены только с МЭ-константами А и С.

В случае отсутствия линейного эффекта (МЭ-константы A_ik = 0, B_ikn = 0), что имеетместо, например, в структуре 3z⁺2x^-I⁺ [53] электрическое поле, направленное вдоль тригональной осиприводит в соответствии с (2.3) к изменению только энергии взаимодействия Дзялошинского. При этом магнитное поле может иметь произвольную ориентацию. Используя известную формулу [54], получим выражение для сдвига резонансной линии низкочастотной ветви АФМР

DH_E = 2H_^M₀В₃₁₂E² / (H_D sinQ) (2.38)

где Q - угол между направлением магнитного поля и тригональной осью кристалла;

H_^- резонансное магнитное поле при Q = 90 .

Отметим, что при Q = 90 , выражение (2.38) совпадает с (2.20) при условии H₀ << H_D . Для высокочастотной ветви, учитывая в (2.3) только члены с МЭ-константами D_ikn при Q = 90, выражение для сдвига резонансной линии может быть получено в виде

DH_E = 2D₃₁₂M₀E²(H₀ / H_D + 2) (2.39)

Из (2.36) и (2.39) отношение сдвигов резонансных линий равно

DH_E^BЧ / DH_E^HЧ = (2H_D + M₀)(H_D + 2 H₀) / (H₀H_D) (2.40)

В области малых магнитных полей (H₀ << H_D ) это отношение сводится к виду

DH_E^BЧ / DH_E^HЧ » 2H_D / H₀.

Полагая H₀= 3 кЭ,получим, что сдвиг высокочастотной линии примерно в сорок раз превышает сдвиг низкочастотной линии.

Экспериментальные результаты

Экспериментальные исследования резонансного МЭ-эффектавыполненына низкочастотной ветви бората железа (FeBO₃) [22], частота спектрометра 9.3 ГГц. Образцы имели форму,близкую к диску диаметром 2,5 мм и толщиной50 мкм. Измерения проведены при комнатной температуре. Удельное сопротивление образцов составляло не менее 10 Ом×см.Электрическое поле, направление которого было выбрано вдоль тригональной оси, подавалось в форме прямоугольных импульсов, минимальная длительность которых составляла 2 мс.

Измеряемый эффектнаблюдалсяввидесмещения резонансной линии под действием постоянного электрического поля. Величина эффекта возрасталас уменьшением угла между постоянным магнитным полем и тригональной осью кристалла (рис. 1.2) и не зависела от длительности импульса электрического поля, что указывает на отсутствие нагрева образца. На рис. 1.3 представлена зависимость сдвига резонансногомагнитного поля от электрическогополя для Q = 30, причем эта зависимость носит квадратичный характер.

Анализ экспериментальных зависимостей (рис. 1.2, 1.3) показывает, что они удовлетворительно описываются формулой (2.38). МЭ-константа D₃₁₂ может быть найдена из выражения (2.38) для сдвига резонансного магнитного поля:

D₃₁₂= 2.7×10(кВ/см).

Зная величины МЭ-констант, можно определить добавку к полю Дзялошинского, обусловленную МЭ-взаимодействием:

DH_D^МЭ / DH_В = 4,8 ×10^-3

в поле Е = 300 кВ/см.

Рассмотрим механизм резонансного МЭ-эффекта в борате железа и проведем оценку МЭ-константы. Как показано в [55], природа взаимодействия Дзялошинского в СФМ типа бората железа определяется анизотропным обменным взаимодействием. Энергия взаимодействия Дзялошинского в расчете на один ион, полученная во втором порядке теории возмущений [55], имеет вид

где - волновые функции, представляющие собой суперпозиции волновых функций двух соседних ионов в кристаллическом поле;

- операторы обменногоиспин-орбитального взаимодействий. Сумма этих операторов использована в качестве оператора возмущения;

DW_nk - расщепление уровней энергии основной конфигурации иона в кристаллическом поле;

W_n - основной уровень энергии иона.

Оценим изменение энергии взаимодействия Дзялошинского во внешнем постоянном электрическом поле. При этом квадратичный резонансный МЭ-эффект описывается энергетическими членами, полученными в четвертом порядке теории возмущений.

где - оператор электрической энергии;

DW_nl в отличиеот DW_nk и DW_nm характеризует расстояние между основной и возбужденной конфигурацией иона, имеющими противоположную четность.

Полученное выражение описывает механизм резонансного МЭ-эффекта в борате железа.Из него следует, что внешнее электрическое полеприводитк смешению волновых функций, соответствующих уровням энергии иона с противоположной четностью. Спин-орбитальное взаимодействие, в свою очередь, приводит к изменению анизотропной обменной энергии.

Рис. 2.2. Угловые зависимости резонансного магнитного поля (1) и сдвига резонансной линии (2) под действием электрического поля Е=330 кВ/см.

Рис. 2.3. Зависимость сдвига резонансной линии от электрическогополя для Q = 30°.Ширина резонансной линиипри Q = 90° равна 10 Э.

Выделяя в энергетических суммах доминирующие слагаемые, найдем относительное изменение энергии взаимодействия Дзялошинского в электрическом поле

DW_D^E / W_D = DH_D^МЭ / H_D = W_E² / (DW_nl ×DW_nm) ,

где

Для численной оценки полагаем DW_nl» 10⁴ см^-1, DW_nm»10^-2 см^-1 [1], W_E = 30 cм^-1 в поле Е=300 кВ/см.

Тогда получим DH_D / H_D »10^-3 , что по порядку величины согласуется с данными эксперимента. Таким образом,проведенныеоценкимеханизма резонансного МЭ-эффекта подтверждают, что энергия Дзялошинского в борате железа обусловлена анизотропнымобменным взаимодействием.

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел