IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Не каждый человек слышал о том, что такое Эффект Магнуса. Но, зато  каждый наблюдал за игрой с участием мяча. Крученые мячи доставляют бурю эмоций у игроков и  болельщиков. Много лет назад люди не понимали, почему при выстреле ядра из пушки оно не всегда попадало в цель. Ученых привлек данный факт и после проведенных опытов при условиях проявления предполагаемого эффекта, был открыт эффект Магнуса. Благодаря этому на сегодняшний день стали   известны такие конструкции ветродвигателей, которые вырабатывают энергию за счет набегающего потока воздуха (ветра). Конструкция не имеет абсолютно никаких надстроек, не нуждается во внешней энергии, очень проста, а, следовательно, занимает малую площадь и имеет изящный и привлекательный вид. Не мало важно применение этого эффекта в химии при разделении веществ. Эффект Магнуса наблюдается на летящем мяче при игре в теннис, футбол, гольф, волейбол. Мяч отклоняется в сторону, если при ударе он получил вращение.

 Отклонение вращающихся тел от траектории свободного падения заметили еще во времена, когда при стрельбе использовали пушечные ядра. В 1742 году Б.Роббинс предположил, что это связано с вращением пушечного ядра. Были проведены эксперименты, в которых опытным путем ученые пытались доказать свое предположение. Так, например, в 1830 году стали применять ядра с эксцентрически расположенным центром тяжести. Ядро разнообразно вкладывали в пушку и запускали в намеченную мишень. И каждый раз ядро отклонялось в сторону, что доказало действие на тело воздушных сил. Эффект Магнуса был впервые обнаружен при изучении полета вращающихся артиллерийских снарядов: подъемная сила, действующая со стороны встречного потока воздуха, отклоняет снаряд от линии прицела. Это отклонение должно учитываться при точной стрельбе. Эффект описан немецким физиком  Генрихом Густавом Магнусом в 1853 году.

Сначала рассмотрим вращающийся цилиндр, помещенный в  неограниченной массе вязкой жидкости или газа. Вращающийся твердый цилиндр образует вихревое движение вокруг себя. Затем обтекание неподвижного цилиндра равномерным невихревым потоком воздуха (жидкости). Цилиндр плавно обтекается  потоком, симметрично. И наконец, рассмотрим случай, когда вращающийся цилиндр обтекается равномерным потоком воздуха. Поток - не симметричен, а цилиндр начинает движение (в данном случае вверх).      

Рассмотрим третий случай более подробно.

В этом случае при своем вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха; в результате окружающий воздух получает, кроме поступательного движения, еще и вращение вокруг цилиндра. В тех местах, где скорости поступательного и вращательного движений складываются, результирующая скорость воздуха превосходит скорость потока, набегающего на цилиндр; с противоположной стороны цилиндра скорости вычитаются и результирующая скорость меньше, чем скорость потока вдали от цилиндра. На рисунке изображено получающееся распределение линий потока. Там, где скорость больше, линии расположены гуще, а давление с этой стороны меньше  согласно уравнению Бернулли -основному уравнению гидродинамики.

Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии и гласит о том, что внутреннее давление жидкости или газа уменьшается с увеличением скорости. В тех местах, где скорость больше, давление понижено, и наоборот. Следовательно, с двух сторон на цилиндр действуют неравные силы; их результирующая, направленная перпендикулярно к потоку, и является силой Магнуса. Уравнение связывает (для установившегося течения) скорость текущей жидкости и давление в ней

где - плотность среды (кг/м );  и  - результирующие скорости воздуха под цилиндром и над ним, которые можно вычислить, зная скорость потока воздуха и скорости вращения цилиндра.  В одном случае скорости потока и вращения вычитаются, в другом складываются  ;  ,    - скорость набегающего потока (м/c),   - скорость точек поверхности цилиндра (м/c).

Выразим разность давлений    : 

Сила находится по формуле , где  - площадь цилиндра, на которую давит воздух;  - длина образующей цилиндра (м);  -  радиус цилиндра (м).

Тогда сила   и, упростив выражение, мы получим конечную формулу для подсчёта подъёмной силы. В статье Л. Прандтля «Успехи физических наук» 1925 года, где подробно описывается эффект Магнуса, приведена именно эта формула - формула Рэлея для цилиндра, находящегося в жидкости .

В данной формуле присутствует скорость вихревого потока, которая определяется экспериментально специальным оборудованием и зависит от картины линий потока, набегающей жидкости.

Формула Рэлея является частным случаем формулы великого русского ученого Н. Е. Жуковского,

где  - плотность воздуха (кг/м );  - скорость набегающего потока (м/с) ;  - характерная площадь (м );  - коэффициент подъёмной силы.Коэффициент подъемной силы определяется опытным путем и имеет табличные значения: у тела в форме конуса k = 0.4; у тела в форме шара k = 0.6; у тела в форме цилиндра k = 0.5.

Правило для определения направления силы Магнуса: Сила перпендикулярна скорости потока. Чтобы найти направление этой силы нужно вектор скорости  потока повернуть на 90° в сторону, противоположную вращению цилиндра.

Эффект проявляется на телах вращения и находит свое применение: при разделение смешанных жидкостей на фазы; в баллистике; в  конструировании воздушных змеев; в ветроэнергетических установках; в спортивных играх с мячом; в судостроении и т.д.

В ветроэнергетических установках вместо обычных лопастей «мельницы» используются вращающиеся цилиндры. Такая установка способна снабжать теплом и светом целые поселки. В ней воплощается идея использовать энергию воздушного потока на благо человека. Не так давно в КБ "Полет" разработана ветряная установка, которую смело можно назвать альтернативным источником. Оригинальная конструкция, в которой использован эффект Магнуса, может работать при силе ветра 2-4 м/с. А это соответствует среднестатистическим погодным условиям. Установка уже прошла необходимые испытания и теперь выиграла грант на серийный запуск. Впрочем, заказ энергетиков - своего рода эксперимент, поскольку о массовом использовании ветряных энергоустановок в России речи пока не идет.

Наверное, каждый мальчишка знает, что такое "сухой лист", и наслышан о мастерах этого удара: Лобановском, Диди, Сальникове и других. «Сухой лист» - так называют задание мячу вращения. Основным признаком удара «сухой лист» является траектория полёта мяча. Изначально мяч летит по сложной дуге и на последнем участке траектории падает резко вниз. Придать такую траекторию мячу можно ударом носка, но классическим принято считать удар внешней стороной стопы. Изобретателем легендарного удара был В. Лобановский. Он пускал мяч с углового по очень крутой траектории - в итоге мяч опускался за спиной вратаря под перекладину. Этот удар долгое время никто не мог повторить. В реальной игре его подстраховывал мастер верховых атак О.Базилевич, который мог подправить мяч в прыжке головой. В дуэте они одержали множество побед. Такие удары позволяли забивать голы прямо с угловых ударов. На рисунке изображены направление вращения мяча (spin direction), направления полета мяча (ball direction), сила сопротивления движению (drag force) и сила Магнуса (Magnus lift force). Приём назвали «сухим листом» за тонкость, закрученность и сложность полёта мяча.При игре в теннис закрученный удар тоже получил свое название. Игроки стараются подать «срезанный» мяч.

Существует самостоятельный подкласс воздушных змеев, принцип полета которых основывается на эффекте Магнуса. Автор американский изобретатель Джой Эдвардс. Этот змей чем-то напоминает вертушку.

В полёте корпус змея, как и артиллерийский снаряд вращается вокруг своей оси. При этом крылья-лопасти преобразуют напор ветра в подъемную силу, а устойчивость змей сохраняет за счет симметричного обтекаемого корпуса и круглого киля. Полуцилиндры, закрепленные на рейках и закрытые с торцов дисками, под напором набегающего потока воздуха вращаются вокруг своих осей.

В судостроении, ярким примером применения эффекта Магнуса является корабль немецкого инженера А.Флеттнера, известного изобретателя «флеттнеровского корабельного руля». Парусные суда по экономическим причинам уступали свое место пароходам и кораблям с дизелями; главная причина этого - необходимость большого персонала, обслуживающего парусные установки и налаживающие работу такелажа. При первых опытах Флеттнера появились затруднения, ведь обычную парусную установку он сначала хотел заменить на металлические паруса, но после того, как он узнал о геттингенских опытах с вращающимися цилиндрами, решил применить их в качестве парусов для своего корабля. На рисунке показано сравнение модели судна с парусами и роторами.

На парусном судне всякое изменение курса, направления или силы ветра связано с изменением положения парусов. На больших кораблях это особенно трудно и утомительно. Во время бурь и сильного ветра паруса приходилось снимать, в то время как цилиндры нужно только замедлить, либо остановить вращение. Это являлось важным преимуществом «ротора». У кораблей-роторов для изменения числа оборотов до нужной величины требовалось рулевому только поворачивать ручку реостата электродвигателя. Только при изменении ветра на противоположное необходимо изменить направление вращения ротора. Испытания такого корабля проводились в 1924 году. 12 ноября корабль «Букау» выехал из порта города Киль (Германия). Роторы действовали практически бесшумно, а способность корабля к маневрированию оказалась превосходной. Корабль показал себя с лучшей стороны и при испытании корабля во время бури.

В качестве экспериментальных исследований была сделана модель роторного судна Флеттнера. На легкой тележке установлен в вертикальном положении цилиндрический ротор, приводимый во вращение электромотором, работающим от батарейки напряжением 9 вольт. Для создания воздушного потока, направленного перпендикулярно возможному и реальному движению тележки, во время опыта использовали фен. На корпусе также расположен переключатель, задающий направление вращения цилиндра либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. При изменении направления вращения ротора тележка начинает двигаться в противоположную сторону, иллюстрируя эффект.

Эффект Магнуса можно легко продемонстрировать при помощи опыта со скатыванием цилиндра по наклонной плоскости. Как известно, траектория движения материальной точки после отрыва от наклонной поверхности - парабола. А легкий бумажный цилиндр, скатываясь с наклонной доски, отклоняется при падении от обычной траектории и движется по более крутой линии. Встречный поток воздуха направлен противоположно скорости центра масс цилиндра,  цилиндр вращается против часовой стрелки.

Рассмотрим падение вращающегося цилиндра. Его скорость отрыва рассчитаем по теореме об изменении кинетической энергии

где W -кинетическая энергия в момент отрыва; W  - кинетическая энергия в начальный момент времени; - сумма работ всех внешних сил. Кинетическая энергия в начальный момент времени равна нулю ( ), так как тело начинает движение из состояния покоя. Кинетическая энергия цилиндра, совершающего плоское движение, считается по формуле

Момент инерции для полого цилиндра   , - масса цилиндра (кг). Формула, связывающая скорость оси цилиндра и - угловую скорость его вращения, имеет вид   .

Получаем соотношение для расчета кинетической энергии цилиндра.

Пренебрегая силами сопротивления, учитывая, что на тело действует только сила тяжести, вычислим сумму работ внешних сил

 - угол наклона плоскости.

Подставляя, и приравнивая полученные формулы, выражаем скорость центра масс цилиндра        .

Скорость при отрыве от наклонной плоскости материальной точки, как известно, определяется соотношением    Она почти в полтора раза больше, чем скорость центра масс вращающегося цилиндра.

Согласно теореме о движении центра масс уравнение движения цилиндра в проекциях на естественные оси после отрыва имеет вид:

Предположим, что скорость полета центра масс постоянна , тогда касательное ускорение равно нулю , а центростремительное ускорение вычисляется по формуле  

Тогда без учета силы тяжести и сил сопротивления получаем

или             

Вычислим радиус кривизны траектории:                                  

Эта величина постоянная, следовательно, траекторией падения вращающегося цилиндра является дуга окружности.

Из экспериментальной кривой при высоте падения 40 см можно получить радиус кривизны из соотношения прямоугольного треугольника  Так как , то . Тогда             .

Рассчитаем горизонтальное отклонение цилиндра при других значениях высоты падения.

Рассмотрим соотношение в прямоугольном треугольнике

Решая квадратное уравнение относительно x, находим

При выполнении опыта h = 0.4 м; x = 0 м; l = 0.6 м;  k = 0.5; m = 0.005 кг; r = 0.031 м; L = 0.3 м;

Численный эксперимент:  

Либо из решения геометрической задачи

Как видим, эти значения очень близки и расчет можно проводить, используя любую из двух формул.

Рассмотрим горизонтальное отклонение цилиндра при высоте падения h = 0.3м         . Радиус кривизны возьмем равным м.

Опытным путем мы наблюдали это отклонение.

В таблице 1 приведена зависимость радиуса кривизны траектории от массы цилиндра

Таблица 1

Масса цилиндра, г	Радиус кривизны, см
5,6	31
8	44
10,7	58

 

В таблице 2 приведена зависимость горизонтального отклонения цилиндра от высоты падения

Таблица 2

Высота падения, см	Горизонтальное отклонение, см
40	0
50	-2
60	-14

 

Расчетные значения довольно хорошо описывают данные, полученные опытным путем. В первом приближении траекторией полета под действием силы Магнуса будет дуга окружности.

Список литературы

1. Л.Прандтль Эффект Магнуса и ветряной корабль // Журнал «Успехи физических наук». Том V, вып. 1-2. 1925, стр.1-27.
2. М.В.Семенов, А.А.Якута Механика сплошных сред. Лекционный эксперимент. (Университетский курс общей физики) Под общей редакцией проф. В.А. Алешкевича // Изд-во Физического факультета МГУ, 1999, 56 стр.
3. В.Заворотов статья «Змей-самолет» // Журнал «Юный техник» 1977, №7, стр. 79-82.
4. Элементарный учебник физики.  Под редакцией академика  Г.С. Ландсберга. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. Москва, Наука, 1984. 606 с. (стр.370-372)
5. Бычков Н.М., Коваленко В.М. Аэродинамические характеристики кругового цилиндра в поперечном потоке // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1980. № 8, вып. 2, стр. 114-124.
6. Бычков Н.М. Ветродвигатель с эффектом Магнуса: 1. Результаты модельных исследований // Теплофизика и аэромеханика. 2004. Т. 11, № 4, стр. 583-596.
7. http://ru.wikipedia.org/
8. http://www.ligis.ru/effects/science/120/index.htm
9. http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/
10. http://www.sniping.ru/index.html?ballistics/fig9

Код для цитирования: Скопировать